Calcule a derivada:
y=\int_{1}^{3 x+2} \frac{1}{1+t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado define
y(x)=\int_{1}^{3x+2}\frac{1}{1+t^{3}}\,dt
e pede a derivada y'(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga derivada de integral ao integrando) aliado à regra da cadeia, pois o limite superior da integral é uma função de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
y(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
y'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
No nosso caso, a=1, u(x)=3x+2 e
f(t)=\frac{1}{1+t^{3}}.

Passo 3

Calculando u'(x) e avaliando f em u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x+2)=3, \qquad f\bigl(u(x)\bigr) =\frac{1}{1+(3x+2)^{3}}.
Logo, pela regra da cadeia,
y'(x) = f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =3\cdot\frac{1}{1+(3x+2)^{3}} =\frac{3}{1+(3x+2)^{3}}.

Resposta

y'(x)=\frac{3}{1+(3x+2)^{3}}.

Exercícios relacionados