Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
Se A=[a_{i j}]{n \times n} é uma matriz triangular superior, então det A=a{11} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.

Passo 1

O enunciado diz que, se A=[a_{ij}]_{n\times n} é uma matriz triangular superior, então
\det A = a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn}.
Esse é um resultado clássico sobre determinantes de matrizes triangulares. Vamos provar por indução usando expansão de Laplace.

Passo 2

Caso base n=1: a matriz A é \bigl[a_{11}\bigr]. Nesse caso
\det A = a_{11},
que coincide com o produto trivial da única entrada da diagonal.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que toda matriz (n-1)\times(n-1) triangular superior verifica o resultado. Seja agora A uma n\times n triangular superior. Expandindo \det A pela primeira linha (teorema de Laplace),
\det A \;=\;\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}\,a_{1j}\,\det\bigl(A_{1j}\bigr),
onde A_{1j} é o menor obtido ao remover a linha 1 e a coluna j.
Como A é triangular superior, para j>1 vale a_{i1}=0 para todo i>1, de modo que a primeira coluna de A_{1j} fica toda zero e \det(A_{1j})=0. Logo só sobra o termo j=1:
\det A = a_{11}\,\det\bigl(A_{11}\bigr).

Passo 4

O menor A_{11} é uma matriz (n-1)\times(n-1) triangular superior cuja diagonal é \{a_{22},\dots,a_{nn}\}. Pela hipótese de indução,
\det\bigl(A_{11}\bigr) = a_{22}\cdots a_{nn}.
Portanto
\det A = a_{11}\,\bigl(a_{22}\cdots a_{nn}\bigr) = a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{nn}.

Resposta

Verdadeiro.

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