Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
Se A=[a_{i j}]{n \times n} é uma matriz triangular superior, então det A=a{11} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.
Se A=[a_{i j}]{n \times n} é uma matriz triangular superior, então det A=a{11} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.
Passo 1
O enunciado diz que, se
é uma matriz triangular superior, então
Esse é um resultado clássico sobre determinantes de matrizes triangulares. Vamos provar por indução usando expansão de Laplace.
Passo 2
Caso base
: a matriz
é
. Nesse caso
que coincide com o produto trivial da única entrada da diagonal.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que toda matriz
triangular superior verifica o resultado. Seja agora
uma
triangular superior. Expandindo
pela primeira linha (teorema de Laplace),
onde
é o menor obtido ao remover a linha 1 e a coluna
.
Como é triangular superior, para
vale
para todo
, de modo que a primeira coluna de
fica toda zero e
. Logo só sobra o termo
:
Como
Passo 4
O menor
é uma matriz
triangular superior cuja diagonal é
. Pela hipótese de indução,
Portanto
Resposta
Verdadeiro.