Determine, se existirem, os valores de \alpha \in \mathbb{R} para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado dá a forma escalonada da matriz aumentada de um sistema linear com quatro incógnitas (vou chamar as incógnitas de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e pede:
para quais valores de \alpha\in\mathbb{R} o sistema tem única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução;
nos casos em que houver solução, determinar o conjunto solução.
A forma escalonada fornecida (peguei todos os coeficientes da matriz do enunciado) é
há quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} (colunas 1 a 4) e a última coluna é o termo independente;
as entradas diagonais potenciais (candidatas a pivôs) nas linhas 2,3,4 são \;A=(\alpha^{2}-1)(\alpha-3),\;D=\alpha(\alpha^{2}-1),\;E=(\alpha-2)\alpha😉
valores de \alpha que anulam esses fatores são \alpha\in\{-1,0,1,2,3\}. Esses são os casos críticos que precisam ser analisados separadamente.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que fazer):
A matriz já está em forma escalonada, então para decidir existência/unicidade de solução devemos examinar pivôs (entradas não nulas que aparecem pela primeira vez em cada linha).
Regra prática:
Se existir uma linha com todos os coeficientes de incógnitas zero e termo independente diferente de zero, então o sistema é incompatível (sem solução).
Se o sistema for compatível e o número de pivôs for igual ao número de incógnitas (aqui 4), então há solução única.
Se o sistema for compatível e o número de pivôs for menor que 4, então há infinitas soluções com variáveis livres.
Vou examinar os pivôs linha a linha, ver quando são zero e quais consequências trazem (inconsistência ou variáveis livres), e resolver as equações linha a linha para obter a solução quando ela existir.
Passo 3
Identificar explicitamente as equações correspondentes às linhas (usando as entradas da matriz):
Linha 1:2x_{1}+1x_{2}+0x_{3}+1x_{4}=2.
Linha 2:(\alpha^{2}-1)(\alpha-3)\,x_{2}+(\alpha-2)\,x_{3}+0\cdot x_{4=\\ }= \alpha-1.Vou denotar A=(\alpha^{2}-1)(\alpha-3) e B=\alpha-2, termo independente C=\alpha-1.
Linha 3:\alpha(\alpha^{2}-1)\,x_{3}= \alpha-1.Denoto D=\alpha(\alpha^{2}-1) e RHS = \alpha-1.
Linha 4:(\alpha-2)\alpha\,x_{4}=0.Denoto E=(\alpha-2)\alpha.
Os fatores críticas já notados são \alpha\in\{-1,0,1,2,3\}. Vou tratar primeiro o caso geral \alpha\notin\{-1,0,1,2,3\} e depois cada valor crítico separadamente.
Passo 4
Caso geral: \alpha\notin\{-1,0,1,2,3\}. Aqui A\neq0,\;D\neq0,\;E\neq0, ou seja cada uma das linhas 2,3,4 fornece um pivô em colunas 2,3,4 respectivamente. Logo existem 4 pivôs (= número de incógnitas) e, se não houver inconsistência, o sistema terá solução única.
Resolver por substituição regressiva (linha 4 → linha 3 → linha 2 → linha 1):
Da linha 4, como E\neq0,
x_{4}=0.
Da linha 3, como D\neq0,
D x_{3}=\alpha-1 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\dfrac{\alpha-1}{D}.
Substituindo D=\alpha(\alpha^{2}-1)=\alpha(\alpha-1)(\alpha+1) e cancelando fator \alpha-1 (pois \alpha\neq1 neste caso),
x_{3}=\dfrac{1}{\alpha(\alpha+1)}.
Observação: o cancelamento é válido porque já estamos no caso \alpha\neq1.
Da linha 2:
A x_{2}+B x_{3}=C.
Isolando x_{2},
x_{2}=\dfrac{C-Bx_{3}}{A}.
Substituindo C=\alpha-1,\;B=\alpha-2 e o x_{3} calculado acima:
Linha 3: D=1\cdot(1^{2}-1)=0 e RHS \alpha-1=0 ⇒ linha 3 é 0=0 (equação redundante).
Linha 2: A=(1^{2}-1)(1-3)=0 e B=\alpha-2=-1, RHS C=0. Assim linha 2 é -1\cdot x_{3}=0 ⇒ x_{3}=0.
Linha 1: 2x_{1}+x_{2}+x_{4}=2 com x_{4}=0 ⇒ 2x_{1}+x_{2}=2.
Análise: há pivôs nas colunas 1,3 e 4; a coluna 2 não tem pivô → x_{2} é variável livre. Portanto o sistema é compatível com infinitas soluções. Parametrizando x_{2}=t\in\mathbb{R}, obtemos