Retas que são reversas no espaço, ou seja, não pertencem a um mesmo plano em comum, não são coplanares. Para que as retas a seguir sejam coplanares, qual é o valor de m necessário?
s:(x, y, z)=(2,3,5)+t(1,2,3)
r:\left\{\begin{array}{l}x=4+3 m \\\ y=1+m \\\ z=2+2 m\end{array}\right.
◯ a. 1
◯ b. 2
◯ c. 4
◯ d. 3
◯ e. 0

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede o valor de m para que elas sejam coplanares.
Informações fornecidas:
  • Reta s: um ponto e um vetor diretor:
    • ponto de s: (2,3,5)
    • vetor diretor de s: \,(1,2,3)
  • Reta r: escrita de forma paramétrica (com parâmetro chamado m):
    • ponto genérico de r: (4+3m,\;1+m,\;2+2m)
    • vetor diretor de r: \,(3,1,2)
O que o enunciado pergunta:
  • Encontrar o(s) valor(es) de m que fazem as retas s e r coplanares.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): duas retas no espaço são coplanares quando existe um plano que contém as duas retas. Uma maneira prática de verificar isso é a seguinte:
Seja Q um ponto qualquer da reta s e P um ponto qualquer da reta r. Seja \mathbf{u} o vetor diretor de s e \mathbf{w} o vetor diretor de r. Então as duas retas são coplanares se, e somente se, o vetor \overrightarrow{QP} estiver no mesmo plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{w}. Algebraicamente isso equivale a exigir que o produto misto (ou triplo escalar)
\overrightarrow{QP}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w})
seja zero. Aqui:
  • \overrightarrow{QP} é o vetor que vai do ponto Q ao ponto P;
  • \mathbf{u}\times\mathbf{w} é o produto vetorial entre \mathbf{u} e \mathbf{w};
  • o produto escalar do vetor \overrightarrow{QP} com \mathbf{u}\times\mathbf{w} é o triplo escalar; valendo zero significa que \overrightarrow{QP} é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{w}, isto é, está no mesmo plano.
Vou aplicar essa verificação com pontos e vetores dados.

Passo 3

Escolho um ponto genérico de cada reta e escrevo os vetores diretores explicitamente:
  • Ponto de s (quando o parâmetro de s é t=0): Q=(2,3,5).
  • Vetor diretor de s: \mathbf{u}=(1,2,3).
  • Ponto genérico de r (para o parâmetro que também está escrito como m): P(m)=(4+3m,\;1+m,\;2+2m).
  • Vetor diretor de r: \mathbf{w}=(3,1,2).
O vetor que liga Q a P(m) é
\overrightarrow{QP(m)} = P(m)-Q = \bigl(2+3m,\;m-2,\;-3+2m\bigr).

Passo 4

Calculo o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{w}. Usando a fórmula
\mathbf{u}\times\mathbf{w} = (u_2w_3-u_3w_2,\;u_3w_1-u_1w_3,\;u_1w_2-u_2w_1),
com \mathbf{u}=(1,2,3) e \mathbf{w}=(3,1,2), tenho:
\mathbf{u}\times\mathbf{w} = (2\cdot2-3\cdot1,\;3\cdot3-1\cdot2,\;1\cdot1-2\cdot3) = (1,\;7,\;-5).

Passo 5

Agora computo o triplo escalar \overrightarrow{QP(m)}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}). Faço o produto escalar componente a componente:
\begin{aligned} \overrightarrow{QP(m)}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}) &= (2+3m)\cdot 1 + (m-2)\cdot 7 + (-3+2m)\cdot(-5) \\\ &= (2+3m) + (7m-14) + (15-10m). \end{aligned}
Agora somando termos semelhantes:
  • constantes: 2-14+15 = 3,
  • coeficientes de m: 3m+7m-10m = 0.
Logo
\overrightarrow{QP(m)}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}) = 3.

Passo 6

Interpretação do resultado: o triplo escalar ficou igual a 3, que é diferente de zero, e, o mais importante, é independente de m (ou seja, não existe nenhum valor de m que zere essa expressão). Como o triplo escalar nunca é zero para quaisquer pontos das duas retas, isso significa que não existe plano que contenha simultaneamente as duas retas: as retas são reversas (skew) para todo m.
Portanto não existe valor de m que torne as retas coplanares.

Resposta

Não existe valor de m que torne as retas coplanares.

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