Retas que são reversas no espaço, ou seja, não pertencem a um mesmo plano em comum, não são coplanares. Para que as retas a seguir sejam coplanares, qual é o valor de m necessário? s:(x, y, z)=(2,3,5)+t(1,2,3) r:\left\{\begin{array}{l}x=4+3 m \\\ y=1+m \\\ z=2+2 m\end{array}\right.
◯ a. 1
◯ b. 2
◯ c. 4
◯ d. 3
◯ e. 0
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede o valor de m para que elas sejam coplanares.
Informações fornecidas:
Reta s: um ponto e um vetor diretor:
ponto de s: (2,3,5)
vetor diretor de s: \,(1,2,3)
Reta r: escrita de forma paramétrica (com parâmetro chamado m):
ponto genérico de r: (4+3m,\;1+m,\;2+2m)
vetor diretor de r: \,(3,1,2)
O que o enunciado pergunta:
Encontrar o(s) valor(es) de m que fazem as retas s e r coplanares.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): duas retas no espaço são coplanares quando existe um plano que contém as duas retas. Uma maneira prática de verificar isso é a seguinte:
Seja Q um ponto qualquer da reta s e P um ponto qualquer da reta r. Seja \mathbf{u} o vetor diretor de s e \mathbf{w} o vetor diretor de r. Então as duas retas são coplanares se, e somente se, o vetor \overrightarrow{QP} estiver no mesmo plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{w}. Algebraicamente isso equivale a exigir que o produto misto (ou triplo escalar)
\overrightarrow{QP} é o vetor que vai do ponto Q ao ponto P;
\mathbf{u}\times\mathbf{w} é o produto vetorial entre \mathbf{u} e \mathbf{w};
o produto escalar do vetor \overrightarrow{QP} com \mathbf{u}\times\mathbf{w} é o triplo escalar; valendo zero significa que \overrightarrow{QP} é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{w}, isto é, está no mesmo plano.
Vou aplicar essa verificação com pontos e vetores dados.
Passo 3
Escolho um ponto genérico de cada reta e escrevo os vetores diretores explicitamente:
Ponto de s (quando o parâmetro de s é t=0): Q=(2,3,5).
Vetor diretor de s: \mathbf{u}=(1,2,3).
Ponto genérico de r (para o parâmetro que também está escrito como m): P(m)=(4+3m,\;1+m,\;2+2m).
Interpretação do resultado: o triplo escalar ficou igual a 3, que é diferente de zero, e, o mais importante, é independente de m (ou seja, não existe nenhum valor de m que zere essa expressão). Como o triplo escalar nunca é zero para quaisquer pontos das duas retas, isso significa que não existe plano que contenha simultaneamente as duas retas: as retas são reversas (skew) para todo m.
Portanto não existe valor de m que torne as retas coplanares.
Resposta
Não existe valor de m que torne as retas coplanares.