Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
. Podemos formar novos subespaços usando as operações
definidas nos Problemas 20 e 22. Quando fazemos aritmética com números, sabemos que a operação de multiplicação é distributiva em relação à operação de adição no sentido de
É natural perguntar se leis distributivas similares valem para as duas operações com subespaços.
(b) A operação de adição para subespaços é distributiva em relação à operação de interseção? Isto é
(b) A operação de adição para subespaços é distributiva em relação à operação de interseção? Isto é
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer subespaços
de um espaço vetorial
, vale a igualdade
Informações dadas:
-
são subespaços de . - As operações envolvidas são a soma de subespaços e a interseção de subespaços.
- A tarefa é decidir se a igualdade acima é verdadeira para todos os subespaços e justificar (provar ou dar contraexemplo).
Passo 2
Definições básicas (explicadas devagar, como se estivéssemos resolvendo isso na prova):
- A interseção de subespaços
é o conjunto
Ou seja, os vetores que pertencem simultaneamente a
e a
.
- A soma de subespaços
é o conjunto
Isto é, todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de
com um vetor de
.
O que significa a propriedade distributiva que estamos testando? Significa que, para qualquer escolha de
, todo vetor que pertence ao conjunto da esquerda também pertença ao conjunto da direita, e vice‑versa. Para provar que a igualdade vale para todos teríamos que provar duas inclusões:
Passo 3
Prova da inclusão direta
Tomemos um vetor arbitrário
. Pela definição de soma, existe
e
tais que
Como
, temos
e
. Portanto:
-
com e , então . -
com e , então .
Assim
pertence simultaneamente a
e a
, logo
. Como
foi escolhido arbitrariamente em
, concluímos a inclusão
Dica prática para a prova na prova: essa inclusão é quase imediata — a ideia é que somar com algo menor (
) dá menos liberdade, então o conjunto da esquerda fica incluso nos conjuntos maiores à direita.
Passo 4
Pergunta natural: a inclusão recíproca também vale? Ou seja, dado
, será sempre possível escrever
como
com
? Vamos investigar isso e mostrar que, em geral, essa recíproca não é verdadeira — portanto a igualdade não vale para todos os subespaços.
Raciocínio que leva ao contraexemplo (intuição): se
, existem decomposições
Igualando,
O lado esquerdo está em
(diferença de elementos de
), e o lado direito está em
(soma de algo de
com algo de
). Nada garante que esse elemento comum seja exatamente um vetor que esteja ao mesmo tempo em
e em
. Então esperar que sempre exista um único
such that
é pedir algo a mais que não decorre das suposições. Vamos construir um exemplo simples e concreto onde a recíproca falha.
Passo 5
Contraexemplo em
(muito usado e fácil de desenhar):
Escolhemos e definimos subespaços
Escolhemos
Calculemos passo a passo:
- Primeiro,
. Um vetor em tem forma . Um vetor em tem forma . A única forma que é simultaneamente e é o vetor nulo. Logo
- Portanto
- Agora calcule
. Somando o eixo com o eixo obtemos todo , pois qualquer pode ser escrito como . Logo
- Também
. Para ver isso, note que e ; as combinações lineares dessas geram , então temos tanto quanto gerados por e , daí . - Agora a interseção
Comparando os dois lados:
Claramente
. Assim a inclusão recíproca falha neste exemplo e, portanto, a igualdade em geral não vale.
Passo 6
Resumo e interpretação didática:
- Provamos que sempre vale a inclusão
- Mostramos, por contraexemplo em
, que a inclusão oposta pode falhar, então a igualdade
não é verdadeira em geral. Em linguagem de teoria de reticulados: o reticulado dos subespaços de um espaço vetorial é modular mas não distributivo — logo leis distributivas completas (como a acima) falham em geral.
Uma dica extra para a prova: se a sua prova pedir uma condição em que a igualdade vale, lembre‑se da lei modular: se, por exemplo,
então
mas isso é uma identidade diferente e exige a hipótese
.
Resposta
Não. Em geral vale apenas
, e a igualdade pode falhar (por exemplo em
com
,
,
).