Determine valores de k \in \mathbb{R} para que o sistema cuja matriz aumentada é
A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & k & -1 \\\\ 2 & -2 & 3+2 k & 2 \\\\ 4 & -10 & k^{2} & k-9 \\\\ 0 & 2 & 3 & 2 k \end{array}\right]
tenha:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear com três incógnitas (chame-as de x_{1},x_{2},x_{3}) e um parâmetro k:
A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & k & -1 \\\\ 2 & -2 & 3+2 k & 2 \\\\ 4 & -10 & k^{2} & k-9 \\\\ 0 & 2 & 3 & 2 k \end{array}\right].
As perguntas são:
(a) Para quais valores de k o sistema tem solução única?
(b) Para quais valores de k o sistema tem infinitas soluções?
(c) Para quais valores de k o sistema não tem solução?
Listei claramente o que foi dado (a matriz aumentada) e o que se pede. A partir daqui vou resolver passo a passo.

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (teoria necessária, explicada de forma direta):
  • Vou usar eliminação de Gauss para triangularizar a matriz aumentada e, com isso, determinar os pivôs e as linhas nulas. Isso permite calcular os postos (ranks) da matriz dos coeficientes C (as três primeiras colunas) e da matriz aumentada A.
  • Conceitos importantes:
    • Se \operatorname{rank}\text{(C)}=\operatorname{rank}(A)=n onde n é o número de incógnitas, o sistema tem solução única.
    • Se \operatorname{rank}\text{(C)}=\operatorname{rank}(A)=r<n, o sistema tem infinitas soluções (graus de liberdade n-r).
    • Se \operatorname{rank}\text{(C)}<\operatorname{rank}(A), o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
  • Aqui n=3 (três incógnitas). Então eu preciso calcular o posto das matrizes, variando k.

Passo 3

Começo a eliminação de Gauss usando as linhas da matriz aumentada. Denoto as linhas por R_{1},R_{2},R_{3},R_{4} conforme aparecem.
Matriz inicial:
\begin{array}{r} R_{1}: \\ [1\\\ -2\\ k\\ \mid\\\ -1]\\[2pt] R_{2}: \\ [2\\\ -2\\\ 3+2k\\ \mid\\\ 2]\\[2pt] R_{3}: \\ [4\\\ -10\\ k^{2}\\ \mid\\ k-9]\\[2pt] R_{4}: \\ [0\\\ 2\\\ 3\\ \mid\\\ 2k] \end{array}
Elimino abaixo do pivô 1 em R_{1}:
  • Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}. Calculo cada entrada:
    • Primeira coluna: 2-2\cdot1=0.
    • Segunda: -2-2\cdot(-2)=-2+4=2.
    • Terceira: (3+2k)-2\cdot k=3+2k-2k=3.
    • Termo independente: 2-2\cdot(-1)=2+2=4.
      Assim R_{2}=[0\\\ 2\\\ 3\\ \mid\\\ 4].
  • Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}. Calculo:
    • Primeira: 4-4\cdot1=0.
    • Segunda: -10-4\cdot(-2)=-10+8=-2.
    • Terceira: k^{2}-4\cdot k=k^{2}-4k.
    • Termo indep.: (k-9)-4\cdot(-1)=k-9+4=k-5.
      Assim R_{3}=[0\\\ -2\\ k^{2}-4k\\ \mid\\ k-5].
R_{4} já tem zero na primeira coluna, mantém-se R_{4}=[0\\\ 2\\\ 3\\ \mid\\\ 2k].
Agora a matriz está:
\begin{array}{r} R_{1}: \\ [1\\\ -2\\ k\\ \mid\\\ -1]\\[2pt] R_{2}: \\ [0\\\ 2\\\ 3\\ \mid\\\ 4]\\[2pt] R_{3}: \\ [0\\\ -2\\ k^{2}-4k\\ \mid\\ k-5]\\[2pt] R_{4}: \\ [0\\\ 2\\\ 3\\ \mid\\\ 2k] \end{array}]

Passo 4

Continuo a eliminação usando R_{2} como pivô para zerar a segunda coluna em R_{3} e R_{4}.
  • Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}:
    • Segunda coluna: -2+2=0.
    • Terceira: (k^{2}-4k)+3=k^{2}-4k+3.
    • Termo indep.: (k-5)+4=k-1.
      Assim R_{3}=[0\\\ 0\\ k^{2}-4k+3\\ \mid\\ k-1].
  • Faço R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{2}:
    • Segunda: 2-2=0.
    • Terceira: 3-3=0.
    • Termo indep.: 2k-4.
      Assim R_{4}=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4].
Agora a matriz está triangular (forma escalonada):
\begin{array}{r} R_{1}: \\ [1\\\ -2\\ k\\ \mid\\\ -1]\\[2pt] R_{2}: \\ [0\\\ 2\\\ 3\\ \mid\\\ 4]\\[2pt] R_{3}: \\ [0\\\ 0\\ k^{2}-4k+3\\ \mid\\ k-1]\\[2pt] R_{4}: \\ [0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4] \end{array}
Observação: factorizei o polinômio da terceira coluna:
k^{2}-4k+3=(k-1)(k-3).]

Passo 5

Interpretação das linhas finais e análise dos casos. A partir das duas últimas linhas, as condições que determinam consistência são claras:
  • A linha R_{4} é [0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4]. Se 2k-4\neq 0 (isto é, se k\neq 2), essa linha representa a equação impossível 0=2k-4\neq 0. Portanto, para qualquer k\neq 2 o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Logo, a única possibilidade de consistência é k=2. Vamos analisar k=2 e também verificar os valores que anulam o coeficiente em R_{3}.
Considere a linha R_{3}:
R_{3}: \\ [0\\\ 0\\ (k-1)(k-3)\\ \mid\\ k-1].
Três subcasos possíveis para R_{3}:
  1. k\neq 1 e k\neq 3: então (k-1)(k-3)\neq 0. Assim R_{3} fornece um pivô na coluna x_{3}. Se além disso R_{4} for zero (ou seja, k=2), então teremos 3 pivôs (nas colunas 1,2,3) e posto igual a 3 — solução única.
  2. k=1: então R_{3} tem coeficiente (k-1)(k-3)=0 e termo independente k-1=0. Assim R_{3} vira [0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 0]. Mas para k=1 temos R_{4}=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4]=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ -2], que é inconsistente. Portanto k=1 produz sistema sem solução.
  3. k=3: então R_{3} tem coeficiente (3-1)(3-3)=0 e termo independente k-1=2, ou seja R_{3}=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2], que é uma equação impossível. Além disso R_{4}=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4]=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2] também é impossível. Então k=3 é inconsistente.
Resumo até aqui: qualquer k\neq 2 já tem R_{4} com termo independente não nulo, então inconsistente. Os casos especiais k=1 e k=3 também foram verificados como inconsistentes por causa de R_{3} e R_{4}. A única chance de consistência é k=2.

Passo 6

Análise detalhada do caso k=2 (onde o sistema pode ser consistente e ter solução única ou infinitas soluções).
Substituindo k=2 nas linhas finais:
  • R_{4}=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4]=[0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 0].
  • R_{3}=[0\\\ 0\\ (k-1)(k-3)\\ \mid\\ k-1]. Para k=2, (k-1)(k-3)=(2-1)(2-3)=1\cdot(-1)=-1, \qquad k-1=1.Assim R_{3}=[0\\\ 0\\\ -1\\ \mid\\\ 1], que é uma equação válida com pivô em x_{3}.
Com k=2 temos pivôs em três colunas (das incógnitas), logo \operatorname{rank}\text{(C)}=\operatorname{rank}(A)=3. Como n=3, o posto é igual ao número de incógnitas, o sistema tem solução única.

Passo 7

Conclusões finais resumidas:
  • Para k=2: sistema consistente e tem pivôs nas três colunas dos coeficientes \Rightarrow solução única.
  • Para qualquer k\neq 2: a linha R_{4} fica [0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\\ 2k-4] com 2k-4\neq 0, o que representa uma equação impossível 0=2k-4 \Rightarrow sistema sem solução.
  • Não existe valor de k que torne \operatorname{rank}\text{(C)}=\operatorname{rank}(A)<3; portanto não há valores de k que produzam infinitas soluções.

Resposta

(a) k=2
(b) nenhum valor de k
(c) k\in\mathbb{R}\setminus\{2\}

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