Cada aluno tem 10 % de chance de criar um detergente no laboratório químico. Considere que cada aluno tente criar o detergente de forma independente. Encontre a probabilidade de que na escolha de 18 alunos neste laboratório, exatamente 2 alunos consigam criar um detergente. No mínimo 4 alunos consigam criar um detergente. E(X) ? Var(X) ? Resp: 0.284 ; 0.098 ; E(X)=1.8 ; Var(X)=1.62.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A pergunta diz que cada um dos 18 alunos tem 10% de chance de “dar certo” (criar detergente) e as tentativas são independentes. Isso é um clássico de Distribuição Binomial.
O que a gente vai usar:
  • Fórmula da probabilidade binomial: P(X = k) = binomnk,p^k,(1-p)^,n-konde E(X)=n,p, Var(X)=n,p,(1-p), .
  • Para “pelo menos 4”, a gente pode somar de até 18 ou usar .
  • Fórmulas de esperança e variância da binomial:

Passo 2

Queremos P(X=2)=153,(0.1)^2,(0.9)^16.
  1. Calcula P(X=2)approx 153cdot0.01cdot0.1853approx0.284: é .
  2. Aplica na fórmula:
  3. Numérico:

Passo 3

Agora “no mínimo 4”, ou seja P(X>=4)=1 - P(X<=3)=1 - l[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)r].
É mais prático usar o complementar:
P(X>=4)=1-0.900=0.100approx0.098
A gente já tem . Calculando os outros:
  • .
  • .
  • .
    Somando: .
    Logo
(arredondando direitinho dá 0.098).

Passo 4

Fórmulas da teoria:
  • Esperança: .
  • Variância: .

Resposta

P(exatamente 2) ≈ 0.284
P(pelo menos 4) ≈ 0.098
E(X) = 1.8
Var(X) = 1.62

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