Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê as respectivas distribuições de probabilidades. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.
(a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposição, cinco bolas. Seja
o número de bolas brancas nas 5 extrações.
(a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposição, cinco bolas. Seja
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Tem uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, a gente tira 5 bolas sem repor. A variável
é o número de bolas brancas que saem nessas 5 retiradas.
Conteúdo: distribuições de variável discreta – em especial saber o que é uma binomial e, se não for binomial, qual distribuição serve.
O que vamos precisar:
Conteúdo: distribuições de variável discreta – em especial saber o que é uma binomial e, se não for binomial, qual distribuição serve.
O que vamos precisar:
- Entender as condições de um ensaio binomial (n fixo, p constante e independência).
- Verificar se essas condições valem no nosso problema (a retirada sem reposição muda p e cria dependência).
- Se não valerem, usar a distribuição hipergeométrica e escrever sua fórmula em LaTeX:
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma binomial:
- Você tem um número fixo de tentativas
. - Em cada tentativa, a probabilidade de “sucesso”
é sempre igual. - As tentativas são independentes (o resultado de uma não mexe na estatística das outras).
No nosso caso:
-
está fixo, ok. - Mas como tiramos sem repor, a chance de tirar uma bola branca muda a cada extração (já que o total de bolas e a proporção mudam).
- Logo, as tentativas não são independentes e
não é constante.
Portanto, não satisfaz as condições de uma binomial.
Passo 3
Quando não tem reposição e queremos o número de “sucessos” numa amostra de tamanho fixo, a distribuição certa é a hipergeométrica. A ideia dela é contar de quantas maneiras escolho
sucessos e o resto insucessos, dividido pelo total de jeitos de tirar a amostra.
A fórmula é:
Aqui:
-
é o número de modos de tirar bolas brancas dentre 10. -
é o número de modos de tirar as 5- bolas pretas dentre 20. -
é o total de modos de tirar 5 bolas dentre 30.
Resposta
X não é binomial (porque falta independência e
muda) – ela segue a distribuição hipergeométrica com