Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê as respectivas distribuições de probabilidades. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.
(a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposição, cinco bolas. Seja X o número de bolas brancas nas 5 extrações.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Tem uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, a gente tira 5 bolas sem repor. A variável P(X=k) = binom10k,binom205-kbinom305, k=0,1,2,3,4,5 é o número de bolas brancas que saem nessas 5 retiradas.
Conteúdo: distribuições de variável discreta – em especial saber o que é uma binomial e, se não for binomial, qual distribuição serve.
O que vamos precisar:
  1. Entender as condições de um ensaio binomial (n fixo, p constante e independência).
  2. Verificar se essas condições valem no nosso problema (a retirada sem reposição muda p e cria dependência).
  3. Se não valerem, usar a distribuição hipergeométrica e escrever sua fórmula em LaTeX:

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma binomial:
  • Você tem um número fixo de tentativas .
  • Em cada tentativa, a probabilidade de “sucesso” é sempre igual.
  • As tentativas são independentes (o resultado de uma não mexe na estatística das outras).
No nosso caso:
  • está fixo, ok.
  • Mas como tiramos sem repor, a chance de tirar uma bola branca muda a cada extração (já que o total de bolas e a proporção mudam).
  • Logo, as tentativas não são independentes e não é constante.
Portanto, não satisfaz as condições de uma binomial.

Passo 3

Quando não tem reposição e queremos o número de “sucessos” numa amostra de tamanho fixo, a distribuição certa é a hipergeométrica. A ideia dela é contar de quantas maneiras escolho P(X = k) = binom10k,binom205-kbinom305, k = 0,1,2,3,4,5 sucessos e o resto insucessos, dividido pelo total de jeitos de tirar a amostra.
A fórmula é:
Aqui:
  • é o número de modos de tirar bolas brancas dentre 10.
  • é o número de modos de tirar as 5- bolas pretas dentre 20.
  • é o total de modos de tirar 5 bolas dentre 30.

Resposta

X não é binomial (porque falta independência e P(X = k) = binom10k,binom205-kbinom305, k = 0,1,2,3,4,5 muda) – ela segue a distribuição hipergeométrica com

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