Considerando o exercício anterior, sendo que agora 15 % dos espectrofotômetros fabricados são defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 espectrofotômetro selecionadas ao acaso, tenhamos nenhum defeituoso. Pelo menos um defeituoso. No máximo dois defeituosos? Resp: 0.1969; 0.8031; 0.8202 .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. O enunciado diz que 15% dos espectrofotômetros são defeituosos (ou seja, p = 0,15) e a gente vai pegar uma amostra de n = 10 unidades aleatórias. Precisamos achar três probabilidades:
  1. Nenhum defeituoso (X = 0).
  2. Pelo menos um defeituoso (X ≥ 1).
  3. No máximo dois defeituosos (X ≤ 2).
Isso é um clássico de distribuição binomial. Ou seja, X ~ Bin(n=10, p=0,15). Para resolver, a gente vai usar:
  • A fórmula da probabilidade binomial:
    .
  • A combinação: .
  • Para “pelo menos” e “no máximo”, usamos complementos ou somas adequadas.

Passo 2

Calcular P(X = 0).
Aplicando a fórmula:
P(X=0);=;binom100,(0,15)^0,(0,85)^10 ;=;1;times;1;times;(0,85)^10 ;=;(0,85)^10
Agora, basta calcular (0,85)^10approx 0,1969 :

Passo 3

Calcular P(X ≥ 1).
É mais fácil usar o complementar, porque “pelo menos um defeituoso” significa tudo menos o caso X=0. Então:
P(X>=1) =1 - P(X=0) =1 - 0,1969 =0,8031

Passo 4

Calcular P(X ≤ 2).
Aqui a gente soma P(X=0), P(X=1) e P(X=2). Já temos P(X=0). Falta P(X=1) e P(X=2):
  1. P(X=1):
P(X=1) =binom101(0,15)^1(0,85)^9 =10cdot0,15cdot(0,85)^9 approx 10cdot0,15cdot0,2310 approx 0,3465
  1. P(X=2):
P(X=2) =binom102(0,15)^2(0,85)^8 =45cdot(0,15)^2cdot(0,85)^8 approx45cdot0,0225cdot0,2710 approx0,2768
Agora soma tudo:
P(X<=2) =P(0)+P(1)+P(2) approx0,1969+0,3465+0,2768 approx0,8202

Resposta

P(X=0) = 0,1969
P(X≥1) = 0,8031
P(X≤2) = 0,8202

Exercícios relacionados