Cada amostra de ar tem 10 % de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes com relação à presença de molécula rara.
Encontre a probabilidade de que nas próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham a molécula rara. R: 0,284

Passo 1

Resumo da questão: temos 18 amostras de ar, cada uma com 10 % (p = 0,1) de chance de conter a molécula rara, e são independentes. A matéria que vamos usar é a Distribuição Binomial, pois queremos saber a chance de ocorrer exatamente k sucessos (moléculas detectadas) em n tentativas (amostras). Para isso, precisamos da fórmula
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1 - p)^,n-k

Passo 2

Definindo os parâmetros:
• n = 18 (número total de amostras)
• k = 2 (número de amostras com a molécula)
• p = 0{,}1 (probabilidade de sucesso em cada amostra)
Aqui X é a variável aleatória que conta quantas amostras têm a molécula.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial binomnk = n!k!(n-k)! .
Por definição,
binom182 = 18!2!,16! = 18 times 172 times 1 = 153
Então

Passo 4

Calcular as potências de p e (1–p):
p^k = (0,1)^2 = 0,01, (1-p)^n-k = (0,9)^16
Essa potência vem do fato de cada amostra que não traz molécula ter probabilidade (1–p) = 0,9, e são 16 amostras “sem sucesso”.

Passo 5

Juntando tudo na fórmula:
P(X=2) = 153 ;times; 0,01 ;times; (0,9)^16
Agora só calcular:
P(X=2)approx 153 times 0,01 times 0,1853 = 1,53 times 0,1853 approx 0,2835 ,
então

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 amostras conterem a molécula rara é aproximadamente .

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