Contaminação é um problema na fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por centímetro quadrado de superfície média é 0,1 . A área do disco sob estudo é 100 centímetros quadrados.
Encontre a probabilidade de que nenhuma partícula ocorra na área do disco. R: 4, 54 times 10^-5

Passo 1

Beleza, a gente tem um problema de contaminação em discos óticos. O enunciado diz que o número de partículas segue uma distribuição de Poisson, com média de 0,1 partícula por cm², e a área do disco que estamos olhando é de 100 cm². Ou seja, queremos usar o conteúdo de Distribuição de Poisson e a fórmula
P(X=k) = e^-lambda,lambda^kk!
pra encontrar a probabilidade de aparecerem exatamente 0 partículas nessa área.

Passo 2

Antes de tudo, o que é essa tal de distribuição de Poisson?
  • Ela serve pra contar quantos “eventos” (aqui, partículas) acontecem num certo intervalo ou área, quando esses eventos são raros e independentes.
  • O parâmetro lambda = 0,1 times 100 = 10 é a média esperada de eventos no intervalo/área.
  • Se a taxa é 0,1 partícula por cm² e a área é 100 cm², a nossa média total é

Passo 3

Agora a gente quer P(X=0) = e^-lambda,lambda^00! partículas. É só usar a fórmula do Poisson com P(X=0) = e^-lambda :
Lembra que e , então simplifica pra

Passo 4

Substituindo P(X=0) = e^-10 :
e^-10 approx 4,54times 10^-5
O valor de (onde é a base dos logaritmos naturais, cerca de 2,718) dá aproximadamente

Resposta

A probabilidade de não ocorrer nenhuma partícula na área de 100 cm² é aproximadamente
boxed4,54 times 10^-5

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