Contaminação é um problema na fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por centímetro quadrado de superfície média é 0,1 . A área do disco sob estudo é 100 centímetros quadrados.
Encontre a probabilidade de que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo. R: 0,095

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a contaminação num disco óptico segue uma distribuição de Poisson com média de partículas por cm² igual a 0,1. A área que a gente estuda tem 100 cm². A pergunta é: qual a probabilidade de aparecer exatamente 12 partículas nessa área?
Conteúdo: distribuição de Poisson.
O que vamos precisar:
  • Calcular o parâmetro λ (média total) para a área de 100 cm².
  • Usar a fórmula da Poisson: P(X = k) = e^-lambda,lambda^kk!

Passo 2

Primeiro, vamos achar λ, que é a média total de partículas na área. Se a média é 0,1 partícula por cm², então para 100 cm²:
lambda = 0,1 times 100 = 10
Isso significa que, em média, esperamos 10 partículas naquele disco.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da Poisson para k = 12:
P(X = 12) ;=; e^-lambda,lambda^1212! ;=; e^-10,10^1212!
Teoria rápida: em Poisson, dá a queda exponencial conforme λ cresce, o conta quantas maneiras de ter 12 ocorrências, e o “divide” pelas permutações dessas 12 partículas idênticas.

Passo 4

É hora de calcular. Primeiro, 12! = 479001600.
Depois montamos:
P(X = 12) = e^-10 times 10^12479001600
Sabendo que P(X = 12) approx 4,54times10^-5 ;times;10^124,79times10^8 = 4,54times10^74,79times10^8 approx 0,095 e , faz-se

Resposta

A probabilidade de ocorrer exatamente 12 partículas na área de 100 cm² é aproximadamente 0,095.

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