Para cada arco
e função
abaixo, encontre o valor de
após observar que
é um contorn
e que
é contínua por partes.
e
(i) é o segmento de reta de
até
;
(ii) consiste de dois segmentos de reta, um de
até
e outro de
até
(iii) consiste de dois segmentos de reta, um de
até
e outro de
até
(i) é o segmento de reta de
(ii) consiste de dois segmentos de reta, um de
(iii) consiste de dois segmentos de reta, um de
Passo 1
Queremos calcular integrais de linha complexas do tipo
onde
e
. As curvas
são pedaços de reta no plano complexo e
é contínua por partes.
Passo 2
Para calcular
usamos uma parametrização
,
, de modo que
Passo 3
Para o item (i) temos a reta de 0 a
. Parametrizamos por
,
. Assim
,
,
e
Logo
Integrando de 0 a 1 obtemos
Passo 4
No item (ii) dividimos o caminho em dois segmentos. Primeiro de 0 a
: parametrização
,
dá
e
. Então
O segundo segmento vai de
Logo
Somando os dois trechos vem
Passo 5
Para o item (iii) também temos dois segmentos. De 0 a 1,
,
, dá
e
. Assim
O segundo segmento de 1 a
Resposta
(i)
, (ii)
, (iii)
.