Para cada arco gamma e função f abaixo, encontre o valor de
integralgamma f(z) d z
após observar que gamma é um contorn ^1 e que f é contínua por partes.
f(z)=y-x-3 x^2 y j e gamma
(i) é o segmento de reta de z=0 até z=1+j;
(ii) consiste de dois segmentos de reta, um de z=0 até z=j e outro de z=j até z=1+j ;
(iii) consiste de dois segmentos de reta, um de z=0 até z=1 e outro de z=1 até z=1+j ;

Passo 1

Queremos calcular integrais de linha complexas do tipo integralgamma f(z),dz onde f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=(y-x)+j(-3x^2y) e z=x+jy. As curvas gamma são pedaços de reta no plano complexo e f é contínua por partes.

Passo 2

Para calcular integralgamma f(z),dz usamos uma parametrização z=gamma(t), tin[a,b], de modo que
integralgamma f(z),dz=integrala^b fl(gamma(t)r),gamma'(t),dt

Passo 3

Para o item (i) temos a reta de 0 a 1+j. Parametrizamos por gamma(t)=t(1+j), tin[0,1]. Assim x(t)=t, y(t)=t, dz=gamma'(t),dt=(1+j),dt e
f(gamma(t))=(y-x)+j(-3x^2y)=t-t+j(-3t^3)=-3t^3j
Logo
f(gamma(t)),dz=(-3t^3j)(1+j),dt=-3t^3(j+j^2),dt=-3t^3(j-1),dt=3t^3,dt-3t^3j,dt
Integrando de 0 a 1 obtemos
integral0^1 3t^3,dt- jintegral0^1 3t^3,dt=3cdot14- j,3cdot14=34-34j

Passo 4

No item (ii) dividimos o caminho em dois segmentos. Primeiro de 0 a j: parametrização gamma1(t)=jt, tin[0,1] x=0,y=t, dz=j,dt e f=t. Então
integralgamma1f,dz=integral0^1 t,j,dt=12j
O segundo segmento vai de j a 1+j, com gamma2(t)=t+j, tin[0,1]. Aqui x=t,y=1, dz=dt e
f=(y-x)+j(-3x^2y)=(1-t)-3t^2j
Logo
integralgamma2f,dz=integral0^1(1-t),dt- jintegral0^1 3t^2,dt=12-1j
Somando os dois trechos vem
12j+l(tfrac12- jr)=12-12j

Passo 5

Para o item (iii) também temos dois segmentos. De 0 a 1, gamma1(t)=t, tin[0,1], dá x=t,y=0, dz=dt e f=-t. Assim
integralgamma1f,dz=integral0^1(-t),dt=-12
O segundo segmento de 1 a 1+j é igual ao segundo trecho do item (ii), cujo valor já achamos tfrac12- j. Somando, obtemos
-tfrac12+l(tfrac12- jr)=-j

Resposta

(i) tfrac34-tfrac34j, (ii) tfrac12-tfrac12j, (iii) -j.

Exercícios relacionados