Para cada arco gamma e função f abaixo, encontre o valor de
integralgamma f(z) d z
após observar que gamma é um contorn ^1 e que f é contínua por partes.
f(z)=z+2z e gamma é
(i) o semicírculo z=2 e^j theta, com 0 <= theta <= pi;
(ii) o semicírculo z=2 e^j theta, com pi <= theta <= 2 pi;
(iii) o círculo z=2 e^j theta, com -pi <= theta <= pi;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralgammaf(z),dz com f(z)=z+2z ao longo de três arcos diferentes parametrizados por z=2e^jtheta. O conteúdo principal é integração de funções de variável complexa por parametrização e uso da primitiva de 1/z.

Passo 2

Observamos que f(z)=z+2z=1+2z, logo
integralgammaf(z),dz=integralgamma1,dz+2integralgamma1z,dz

Passo 3

Para z=2e^jtheta, temos dz=2j e^jthetadtheta. Mas mais direto:
  • integralgammadz=z(thetab)-z(thetaa).
  • pois integralgammadzz=l[ln|z|+iArg zr]thetaa^thetab=i(thetab-thetaa) é constante.

Passo 4

Agora vamos calcular caso a caso.

Resposta

(i) -4+2ipi
(ii) 4+2ipi
(iii) 4ipi

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