Calcule as integrais envolvidas no Teorema da Divergência para
F e S dados.
F(x, y, z)=(x+z) i+(y+z) j+(x+y) k e S é a fronteira da região
Q=(x, y, z) in R^3 mid 0 <= y^2+z^2 <= 1,0 <= x <= 2

Passo 1

Em resumo, a região Q é um cilindro de raio 1 (no plano yz) e comprimento 2 (em x), e sua fronteira S tem uma superfície lateral e duas tampas nos planos x=0 e x=2. Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona
$$
iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n},dS

iiint_Q \nabla\cdot \mathbf{F},dV.
$$
Para isso, precisamos calcular iintS Fcdot n,dS = iiintQ nablacdot F,dV , a integral de volume e as integrais de fluxo em cada parte de nablacdot F.

Passo 2

A divergência de F(x,y,z)=(x+z,,y+z,,x+y) é
nablacdot F =partialpartial x(x+z)+partialpartial y(y+z)+partialpartial z(x+y) =1+1+0=2

Passo 3

Então a integral de volume fica
integral triplaQ nablacdotF,dV =integral triplaQ 2,dV =2cdot Vol(Q)
Como Q é um cilindro de raio 1 e altura 2, Vol(Q)=picdot1^2cdot2=2pi. Logo
integral triplaQ nablacdotF,dV =2cdot 2pi =4pi

Passo 4

Agora vamos calcular o fluxo pela superfície lateral Slat: nela y^2+z^2=1 e a normal unitária apontando para fora é n=(0,y,z). Assim
Fcdot n =(y+z)y+(x+y)z =y^2+2yz+xz
Parametrizando y=costheta, z=sintheta com thetain[0,2pi] e xin[0,2], o elemento de área é dS=dtheta,dx, e a integral
integral duplaSlatFcdot n,dS =integral0^2integral0^2pi(cos^2theta+2costhetasintheta+xsintheta),dtheta,dx =2pi

Passo 5

Para a tampa em x=0, a normal é (-1,0,0) e Fcdot n=-(0+z)=-z. Como a região é simétrica em z,
integral duplax=0Fcdot n,dS =integral duplay^2+z^2<=1-z,dA =0
Na tampa em x=2, a normal é (1,0,0) e Fcdot n=2+z, portanto
integral duplax=2Fcdot n,dS =integral duplay^2+z^2<=1(2+z),dA =2pi

Passo 6

Somando os fluxos
2pi+0+2pi=4pi,
que coincide com a integral de volume. Então pelo Teorema da Divergência o fluxo total é 4pi.

Resposta

4\pi

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