Calcule as integrais envolvidas no Teorema da Divergência para
e
dados.
e
é a fronteira da região
Passo 1
Em resumo, a região
é um cilindro de raio 1 (no plano
) e comprimento 2 (em
), e sua fronteira
tem uma superfície lateral e duas tampas nos planos
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona
$$
iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n},dS
iiint_Q \nabla\cdot \mathbf{F},dV.
$$
Para isso, precisamos calcular , a integral de volume e as integrais de fluxo em cada parte de
.
Para isso, precisamos calcular
Passo 2
A divergência de
é
Passo 3
Então a integral de volume fica
Como
é um cilindro de raio 1 e altura 2,
. Logo
Passo 4
Agora vamos calcular o fluxo pela superfície lateral
: nela
e a normal unitária apontando para fora é
. Assim
Parametrizando
,
com
e
, o elemento de área é
, e a integral
Passo 5
Para a tampa em
, a normal é
e
. Como a região é simétrica em
,
Na tampa em
, a normal é
e
, portanto
Passo 6
Somando os fluxos
que coincide com a integral de volume. Então pelo Teorema da Divergência o fluxo total é
.
Resposta
4\pi