Calcule por meio do Teorema de Stokes o trabalho realizado pelo campo
F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k
ao longo da curva no espaço formada por quatro segmentos de reta que ligam os pontos (1,0,0) ;(1,0,2) ;(0,0,2) e (0,0,0), nesta ordem.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho ointC Fcdot d r ao longo da curva fechada formada pelos segmentos que ligam, em ordem, P1=(1,0,0), P2=(1,0,2), P3=(0,0,2), P4=(0,0,0) e de volta a P1. O conteúdo é o Teorema de Stokes, que diz que essa integral de linha fechada é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre qualquer superfície S tal que partial S=C, isto é,

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de F(x,y,z) = (yz,,xz,,xy). Usando a definição nablatimes F=l(tfracpartialpartial y(xy)-tfracpartialpartial z(xz),, -l(tfracpartialpartial x(xy)-tfracpartialpartial z(yz)r),,tfracpartialpartial x(xz)-tfracpartialpartial y(yz)r), encontramos
nablatimes F=(x-x,,-(y-y),,z-z)=(0,0,0)

Passo 3

Escolhemos como S o retângulo no plano y=0 delimitado pelos mesmos vértices P1P2P3P4. Nesse plano, um vetor normal unitário orientado segundo a regra da mão direita (compatível com a ordem de percurso dada, que é sentido anti-horário visto de y>0) é n= j

Passo 4

Pela versão do Teorema de Stokes temos
ointC Fcdot d r=integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 5

Como nablatimes Fequiv(0,0,0), o integrando é zero em toda a superfície, logo a integral também é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados