1. Cada aresta de um cubo está aumentando a uma taxa de 6 cm / seg. Com que taxa o volume do cubo estará aumentando, quando a área total do cubo for 24 cm^2 ?

Passo 1

O enunciado fala de um cubo cujo lado s varia com o tempo, e diz que dsdt=6 cm/s. Pede a que taxa dVdt o volume do cubo cresce quando a área total vale 24 cm^2. O conteúdo é de taxas relacionadas, usando derivadas implícitas e as fórmulas de volume e área de um cubo.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas básicas:
V = s^3,
A = 6s^2
Como o lado cresce a 6 cm/s, temos
dsdt = 6

Passo 3

Quando a área total é 24 cm^2, usamos A=6s^2:
6s^2 = 24 Longrightarrow s^2 = 4 Longrightarrow s = 2 cm

Passo 4

Agora derivamos o volume em relação ao tempo:
dVdt = ddtl(s^3r) = 3s^2 ,dsdt
Substituindo s=2 e dsdt=6:
dVdt = 3cdot(2)^2 cdot 6 = 3cdot 4cdot 6 = 72

Resposta

A taxa de variação do volume é 72 cm^3/s.

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