Exercício 18. (F. 4.2, ex.5) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x)+e^-2 t sen(x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, pi[ u(t, 0)=u(t, pi)=0, t>0 u(0, x)=0, forall x in] 0, pi[

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da difusão não-homogênea
partial upartial t(t,x)=k,partial^2upartial x^2(t,x)+e^-2tsin(x),
com condições de contorno u(t,0)=u(t,pi)=0 e condição inicial u(0,x)=0.
O conteúdo é expansão em autofunções do operador partial^2/partial x^2 em [0,pi] com contorno homogeneamente zero; vamos buscar uma solução na forma de um único modo sin(x).

Passo 2

Como a fonte espacial é proporcional a sin(x), assumimos
u(t,x)=A(t),sin(x)
Isso satisfaz automaticamente u(t,0)=u(t,pi)=0. Vamos determinar A(t) impondo a equação diferencial.

Passo 3

Substituindo u(t,x)=A(t)sin(x) na PDE, obtemos
partial upartial t=A'(t)sin(x), partial^2upartial x^2=A(t),d^2dx^2sin(x)=-A(t)sin(x)
Logo a PDE vira
A'(t)sin(x) = kl(-A(t)sin(x)r)+e^-2tsin(x),
e, como sin(x)neq0 internamente, ficamos com a equação para A(t):
A'(t)+k,A(t)=e^-2t, A(0)=0

Passo 4

Resolvemos a EDO linear
A'(t)+k,A(t)=e^-2t
usando o fator integrante e^kt. Temos
ddtl(A(t)e^ktr) =e^kte^-2t=e^(k-2)t
Integrando de 0 a t:
A(t)e^kt =integral0^te^(k-2)s,ds = dfrace^(k-2)t-1,k-2,,&kneq2,[1em] t,&k=2
Portanto
A(t)= dfrace^-2t-e^-kt,k-2,,&kneq2,[0.7em] t,e^-2t,&k=2 ]

Passo 5

Voltando à solução u(t,x)=A(t)sin(x), concluímos:
boxed u(t,x)= dfrace^-2t-e^-kt,k-2,,sin(x),&kneq2,[1em] t,e^-2t,sin(x),&k=2 ]

Resposta

Para kneq2:
u(t,x)=e^-2t-e^-ktk-2,sin(x)
Para k=2:
u(t,x)=t,e^-2t,sin(x)

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