5.4C Encontre a solução geral de cada edo dada a seguir:
x^2 y^prime-3 y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^2y' - 3y = 1
que é uma equação de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e então usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x^2 (pressupondo xneq0) para obter a forma padrão:
y' - 3x^2,y = 1x^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) definido por
mu(x) = exp!gl(integral P(x),dxgr)
com P(x)=-3/x^2. Logo,
integral P(x),dx = integral -3x^2,dx = 3x,
portanto
mu(x) = e^3/x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x), obtendo
e^3/xy' - 3x^2,e^3/xy = 1x^2,e^3/x
o que é equivalente a
ddxl(y,e^3/xr) = e^3/xx^2
Agora integramos ambos os lados:
y,e^3/x = integral e^3/xx^2,dx + C
Fazendo a substituição u=3/x, du=-3,x^-2dx, temos
integral e^3/xx^2,dx = -13integral e^u,du = -13e^u = -13e^3/x

Passo 5

Substituindo de volta,
y,e^3/x = -13e^3/x + C
e isolando y:
y = -13 + C,e^-3/x

Resposta

A solução geral é
y(x) = -13 + C,e^-3/x,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados