Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes e e calcule as coordenadas do vetor na base :

Passo 1

Neste exercício temos a base mathscrB=(1,2),(0,-1) em R^2 e o vetor v=(2,2). O objetivo é calcular as matrizes de mudança de base de mathscrB para a base canônica (denotada MmathscrB,can) e de volta da base canônica para mathscrB (denotada Mcan,mathscrB), além de encontrar as coordenadas de v em mathscrB. Vamos usar que a matriz de mudança de base de mathscrB para a base canônica tem como colunas os vetores de mathscrB escritos em coordenadas canônicas, e que a matriz inversa faz a mudança inversa.

Passo 2

Para montar MmathscrB,can basta colocar como primeira coluna o vetor (1,2) e como segunda coluna o vetor (0,-1) na base canônica. Montamos a matriz de mudança de base de mathscrB para a base canônica assim
MmathscrB,can=1 & 0 2 & -1

Passo 3

Para obter Mcan,mathscrB, que faz a mudança de volta, basta inverter MmathscrB,can. Calculamos primeiro o determinante:
det(MmathscrB,can)=1cdot(-1)-0cdot2=-1
Como o determinante é -1, a inversa é dada por
Mcan,mathscrB=(MmathscrB,can)^-1=1-1-1 & 0 -2 & 1=1 & 0 2 & -1

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de v=(2,2) na base mathscrB, aplicamos
[v]mathscrB=Mcan,mathscrBcdot v =1 & 0 2 & -12 2 =2 4-2 =2 2

Resposta

M_{\mathscr{B},\mathrm{can}}= 1 & 0 2 & -1,\quad M_{\mathrm{can},\mathscr{B}}= 1 & 0 2 & -1,\quad [v]_{\mathscr{B}}=(2,2)

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