Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes
e
e calcule as coordenadas do vetor
na base
:
Passo 1
Neste exercício temos a base
em
e o vetor
. O objetivo é calcular as matrizes de mudança de base de
para a base canônica (denotada
) e de volta da base canônica para
(denotada
), além de encontrar as coordenadas de
em
. Vamos usar que a matriz de mudança de base de
para a base canônica tem como colunas os vetores de
escritos em coordenadas canônicas, e que a matriz inversa faz a mudança inversa.
Passo 2
Para montar
basta colocar como primeira coluna o vetor
e como segunda coluna o vetor
na base canônica. Montamos a matriz de mudança de base de
para a base canônica assim
Passo 3
Para obter
, que faz a mudança de volta, basta inverter
. Calculamos primeiro o determinante:
Como o determinante é
, a inversa é dada por
Passo 4
Para encontrar as coordenadas de
na base
, aplicamos
Resposta
M_{\mathscr{B},\mathrm{can}}=
,\quad M_{\mathrm{can},\mathscr{B}}=
,\quad [v]_{\mathscr{B}}=(2,2)