Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes e e calcule as coordenadas do vetor na base :

Passo 1

Temos a base mathscrB=(0,1),(2,3) e o vetor v=(1,-1). O conteúdo aqui é mudança de base: vamos achar a matriz que leva coordenadas de mathscrB para a base canônica e seu inverso, e depois expressar v em mathscrB.

Passo 2

Para montar a matriz de mudança de base de mathscrB para a base canônica, colocamos as coordenadas canônicas dos vetores de mathscrB como colunas. Assim temos
MmathscrB,can=0 & 21 & 3

Passo 3

Para obter Mcan,mathscrB, calculamos a inversa de MmathscrB,can. Primeiro o determinante:
det = 0cdot3 - 2cdot1 = -2
A adjunta é
3 & -2-1 & 0,
e portanto
Mcan,mathscrB = (MmathscrB,can)^-1 = 1-23 & -2-1 & 0 = -tfrac32 & 1[4pt]tfrac12 & 0

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de v na base mathscrB, usamos
[v]mathscrB = Mcan,mathscrB,v = -tfrac32 & 1[4pt]tfrac12 & 01-1 = -tfrac52[4pt]tfrac12

Resposta

MmathscrB,can=0 & 21 & 3, Mcan,mathscrB=-tfrac32 & 1[4pt]tfrac12 & 0, [v]mathscrB=-tfrac52[4pt]tfrac12

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