Questão 03: Considere a matriz em blocos ccI & A^T A & 0. Quais das seguintes afirmativas são necessariamente verdadeiras (necessariamente verdadeiras significa que são verdadeiras sem nenhuma consideração adicional).
a) K é simétrica.
Solução: Para verificar se a matriz K é simétrica, iremos aplicar a operação de transposição em K. Como a matriz K está dividida em blocos, a operação de transposição poderá ser realizada em cada partição. Assim: ccI^T & A^T (A^T)^T & 0^T. Então, ccI & A^T A & 0 é simétrica.
b) K é quadrada ou larga (a matriz é larga quando não é alta, isto é, número de colunas maior que o número de linhas).
Solução: Como a matriz A é simétrica, ela é quadrada. Vamos considerar K. É possível definir a seguinte matriz K in R^n times n, com ccI & e1^T e1 & 0^T e I in R^1 times 1 um vetor coluna de e1 linhas, ou seja, neste contra exemplo, n-1 é uma matriz alta e fina.
c) A submatriz identidade e a matriz de zeros em A=e1 possuem as mesmas dimensões.
Solução: Não, pelo contra exemplo acima.
d) A submatriz de zeros é quadrada.
Solução: Sim. A matriz de zeros possui o mesmo número de linhas de K A de colunas igual às colunas de e.

Passo 1

A questão apresenta a matriz em blocos K=I & A^T A & 0 e pede para identificar quais das afirmações (a) a (d) são necessariamente verdadeiras, sem assumir nada além do enunciado. O conteúdo envolve simetria de matrizes em blocos e análise de dimensões das submatrizes.

Passo 2

Para decidir simetria de K, lembramos que uma matriz em blocos B & C D & E é simétrica se e somente se B^T=B, E^T=E e D=C^T.
Aplicando essa condição à matriz K temos: I^T=I por ser identidade, 0^T=0 por ser matriz de zeros, e o bloco A aparece em (2,1) enquanto A^T está em (1,2). Logo A=(A^T)^T. Isso mostra que K^T=K, ou seja, a) é verdadeira.

Passo 3

Para analisar as dimensões, seja I de dimensão ptimes p e A de dimensão qtimes p. Então A^T é ptimes q e o bloco 0 deve ser qtimes q para que K seja bem definida e quadrada.

Passo 4

Quanto a b), não há restrição em q e p, então A pode ser “alta” ( q>p), “larga” ( q) ou quadrada ( q=p). Portanto b) não é necessariamente verdadeira. Para c), o bloco identidade tem dimensão ptimes p e o bloco zero é qtimes q, que só coincidem se p=q, o que também não é garantido. Logo c) é falsa.

Passo 5

Na afirmação d) vemos que o bloco zero está em (2,2) e foi definido para equilibrar as linhas de A e colunas de A^T, ou seja, ele sempre é qtimes q e, portanto, necessariamente é uma matriz quadrada. Logo d) é verdadeira.

Resposta

As afirmativas que são necessariamente verdadeiras são: a) e d).

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