Questão 03: Considere a matriz em blocos
. Quais das seguintes afirmativas são necessariamente verdadeiras (necessariamente verdadeiras significa que são verdadeiras sem nenhuma consideração adicional).
a)
é simétrica.
Solução: Para verificar se a matriz K é simétrica, iremos aplicar a operação de transposição em K. Como a matriz
está dividida em blocos, a operação de transposição poderá ser realizada em cada partição. Assim:
. Então,
é simétrica.
b)
é quadrada ou larga (a matriz é larga quando não é alta, isto é, número de colunas maior que o número de linhas).
Solução: Como a matriz
é simétrica, ela é quadrada. Vamos considerar
. É possível definir a seguinte matriz
, com
e
um vetor coluna de
linhas, ou seja, neste contra exemplo,
é uma matriz alta e fina.
c) A submatriz identidade e a matriz de zeros em
possuem as mesmas dimensões.
Solução: Não, pelo contra exemplo acima.
d) A submatriz de zeros é quadrada.
Solução: Sim. A matriz de zeros possui o mesmo número de linhas de
de colunas igual às colunas de
.
a)
b)
Solução: Como a matriz
c) A submatriz identidade e a matriz de zeros em
d) A submatriz de zeros é quadrada.
Passo 1
A questão apresenta a matriz em blocos
e pede para identificar quais das afirmações (a) a (d) são necessariamente verdadeiras, sem assumir nada além do enunciado. O conteúdo envolve simetria de matrizes em blocos e análise de dimensões das submatrizes.
Passo 2
Para decidir simetria de
, lembramos que uma matriz em blocos
é simétrica se e somente se
,
e
.
Aplicando essa condição à matriz temos:
por ser identidade,
por ser matriz de zeros, e o bloco
aparece em
enquanto
está em
. Logo
. Isso mostra que
, ou seja, a) é verdadeira.
Aplicando essa condição à matriz
Passo 3
Para analisar as dimensões, seja
de dimensão
e
de dimensão
. Então
é
e o bloco
deve ser
para que
seja bem definida e quadrada.
Passo 4
Quanto a b), não há restrição em
e
, então
pode ser “alta” (
), “larga” (
) ou quadrada (
). Portanto b) não é necessariamente verdadeira. Para c), o bloco identidade tem dimensão
e o bloco zero é
, que só coincidem se
, o que também não é garantido. Logo c) é falsa.
Passo 5
Na afirmação d) vemos que o bloco zero está em
e foi definido para equilibrar as linhas de
e colunas de
, ou seja, ele sempre é
e, portanto, necessariamente é uma matriz quadrada. Logo d) é verdadeira.
Resposta
As afirmativas que são necessariamente verdadeiras são: a) e d).