Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços e nos casos abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para achar bases e dimensões de três subespaços gerados por vetores em R^5: os spans F1 e F2, sua interseção e sua soma. O conteúdo envolve conceitos de base, dimensão, soma direta de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Verificamos primeiro F1 = spanv1,v2 com
v_1 = (1,-1,2,0,1),
v_2 = (0,1,0,0,-1).
Como não há lambda tal que v2=lambda v1, os vetores são linearmente independentes. Logo
base de F1 = {v_1,v_2},
dimensão de F1 = 2.

Passo 3

Em seguida F2 = spanw1,w2 com
w_1 = (1,-1,1,-1,1),
w_2 = (0,2,0,-1,2).
Também não existe lambda fazendo w2=lambda w1, então são independentes. Logo
base de F2 = {w_1,w_2},
dimensão de F2 = 2.

Passo 4

Para achar F1cap F2, procuramos escalares a,b,c,d tais que
a v1 + b v2 ,=, c w1 + d w2
Isso gera o sistema
a = c, -a + b = -c + 2d, 2a = c, 0 = -c - d, a - b = c + 2d
Das equações vem c=a e 2a=c levando a a=0, então b=c=d=0. Só a solução trivial aparece, logo
F1cap F2 = 0,
dimensão = 0.

Passo 5

Finalmente, pela fórmula
dim(F1+F2)=dim F1+dim F2-dim(F1cap F2)=2+2-0=4,
e a união das bases (quatro vetores) é linearmente independente. Assim
base de F1+F2 = {v_1,v_2,w_1,w_2},
dimensão = 4.

Resposta

Bases e dimensões:
F₁: base = {(1,-1,2,0,1),(0,1,0,0,-1)}, dim=2
F₂: base = {(1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2)}, dim=2
F₁ ∩ F₂: base = ∅ (apenas {0}), dim=0
F₁ + F₂: base = {(1,-1,2,0,1),(0,1,0,0,-1),(1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2)}, dim=4

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