Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços e nos casos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar bases e dimensões de três subespaços gerados por vetores em : os spans e , sua interseção e sua soma. O conteúdo envolve conceitos de base, dimensão, soma direta de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Verificamos primeiro com
v_1 = (1,-1,2,0,1),
v_2 = (0,1,0,0,-1).
Como não há tal que , os vetores são linearmente independentes. Logo
base de = {v_1,v_2},
dimensão de = 2.
Passo 3
Em seguida com
w_1 = (1,-1,1,-1,1),
w_2 = (0,2,0,-1,2).
Também não existe fazendo , então são independentes. Logo
base de = {w_1,w_2},
dimensão de = 2.
Passo 4
Para achar , procuramos escalares tais que
Isso gera o sistema
Das equações vem c=a e 2a=c levando a a=0, então b=c=d=0. Só a solução trivial aparece, logo F1cap F2 = 0,
dimensão = 0.
Passo 5
Finalmente, pela fórmula
dim(F1+F2)=dim F1+dim F2-dim(F1cap F2)=2+2-0=4,
e a união das bases (quatro vetores) é linearmente independente. Assim
base de F1+F2 = {v_1,v_2,w_1,w_2},
dimensão = 4.
Resposta
Bases e dimensões:
F₁: base = {(1,-1,2,0,1),(0,1,0,0,-1)}, dim=2
F₂: base = {(1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2)}, dim=2
F₁ ∩ F₂: base = ∅ (apenas {0}), dim=0
F₁ + F₂: base = {(1,-1,2,0,1),(0,1,0,0,-1),(1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2)}, dim=4