Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes e e calcule as coordenadas do vetor na base :

Passo 1

A base dada é mathscrB=b1,b2,b3 com b1=(1,0,1), b2=(1,-1,0), b3=(0,0,-1). A tarefa é: montar a matriz de mudança de base de mathscrB para a base canônica ( MmathscrB,can), sua inversa ( Mcan,mathscrB) e, por fim, achar as coordenadas de v=(1,0,1) em mathscrB.

Passo 2

Para achar MmathscrB,can a gente coloca como colunas os vetores de mathscrB escritos na base canônica. Assim
MmathscrB,can=1 & 1 & 0[6pt]0 & -1 & 0[6pt]1 & 0 & -1

Passo 3

Agora calculamos Mcan,mathscrB=(MmathscrB,can)^-1. Uma forma prática é achar as coordenadas de cada vetor-canônico ej em mathscrB. Resolvendo:
a) a,b1+b,b2+c,b3=e1=(1,0,0) (a,b,c)=(1,0,1).
b) a,b1+b,b2+c,b3=e2=(0,1,0) (a,b,c)=(1,-1,1).
c) a,b1+b,b2+c,b3=e3=(0,0,1) (a,b,c)=(0,0,-1).
Logo cada coluna de Mcan,mathscrB é uma dessas coordenadas:
Mcan,mathscrB=1 & 1 & 0[4pt]0 & -1 & 0[4pt]1 & 1 & -1

Passo 4

Para as coordenadas de v=(1,0,1) em mathscrB basta fazer
[v]mathscrB=Mcan,mathscrB,v

Passo 5

Fazendo a multiplicação:
1 & 1 & 0[4pt]0 & -1 & 0[4pt]1 & 1 & -1101=100

Resposta

MmathscrB,can=1 & 1 & 00 & -1 & 01 & 0 & -1, Mcan,mathscrB=1 & 1 & 00 & -1 & 01 & 1 & -1, [v]mathscrB=(1,0,0)

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