Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
A=(0,0,0) \text { e } B=(1,2,3)
\vec{F}(x, y, z)=(y z, x z, x y)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Pontos finais da integral de linha: A=(0,0,0) e B=(1,2,3).
  • Campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=(y z,\; x z,\; x y).
O que se pede:
  1. Determinar se \vec{F} é conservativo ou não e justificar.
  2. Se for conservativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
  3. Usar a função potencial para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r.

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo se existe uma função escalar \varphi tal que
\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)=(P,Q,R).
  • Uma forma prática para verificar conservatividade em domínios simples (como todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo) é calcular o rotacional (curl):
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Se \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então \vec{F} é conservativo.
  • Se \vec{F} for conservativo, achamos \varphi integrando as componentes parciais e conciliando as constantes de integração (funções de outras variáveis).

Passo 3

Aplicando a fórmula do rotacional ao campo dado. Aqui P=y z, Q=x z, R=x y. Calcule cada componente do rotacional:
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{F})_x &= \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial (x y)}{\partial y}-\frac{\partial (x z)}{\partial z} = x - x = 0,\\[6pt] (\nabla\times\vec{F})_y &= \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial (y z)}{\partial z}-\frac{\partial (x y)}{\partial x} = y - y = 0,\\[6pt] (\nabla\times\vec{F})_z &= \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x z)}{\partial x}-\frac{\partial (y z)}{\partial y} = z - z = 0. \end{aligned}
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\quad\text{em todo }\mathbb{R}^3.]

Passo 4

Interpretação e conclusão sobre conservatividade:
  • O rotacional é nulo em todo \mathbb{R}^3.
  • O domínio natural do campo é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo (não tem “buracos”).
  • Pelo teorema clássico: em um domínio simplesmente conexo, rotacional nulo implica que o campo é conservativo.
    Logo, \vec{F} é conservativo.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}.
Temos as equações parciais
\phi_x = y z,\qquad \phi_y = x z,\qquad \phi_z = x y.
Integramos \phi_x em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int \phi_x\,dx=\int y z\,dx = x y z + g(y,z),
onde g(y,z) é “constante” de integração em relação a x (pode depender de y,z).
Agora usamos \phi_y. Diferenciando a expressão acima em relação a y:
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}(x y z + g(y,z)) = x z + g_y(y,z).
Mas sabemos que \phi_y deve ser x z. Assim
x z + g_y(y,z) = x z \quad\Rightarrow\quad g_y(y,z)=0.
Portanto g não depende de y: g(y,z)=h(z) para alguma função h.
Agora usamos \phi_z. Diferenciando \varphi(x,y,z)=x y z + h(z) em relação a z:
\phi_z = x y + h'(z).
Como \phi_z deve ser x y, obtemos
x y + h'(z)=x y \quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Logo h é constante. Podemos escolher a constante igual a 0 (potencial é definido até constante aditiva). Assim uma função potencial conveniente é
\boxed{\varphi(x,y,z)=x y z.}

Passo 6

Usar a função potencial para calcular a integral de linha entre A e B.
Teorema fundamental para campos conservativos: a integral de linha é independente do caminho e vale a diferença dos potenciais nos extremos:
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r = \varphi(B)-\varphi(A).
Calcule os valores:
\varphi(B)=\varphi(1,2,3)=1\cdot2\cdot3=6,\qquad \varphi(A)=\varphi(0,0,0)=0.
Portanto
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r = 6-0 = 6.

Resposta

É conservativo: sim.
Função potencial: \varphi(x,y,z)=x y z + C (pode tomar C=0).
Integral de linha \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r = 6.

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