Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Pontos finais da integral de linha:
e . - Campo vetorial
O que se pede:
- Determinar se
é conservativo ou não e justificar. - Se for conservativo, encontrar uma função potencial
tal que . - Usar a função potencial para calcular a integral de linha
.
Passo 2
Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que
- Uma forma prática para verificar conservatividade em domínios simples (como todo
, que é simplesmente conexo) é calcular o rotacional (curl):
Se
em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então
é conservativo.
- Se
for conservativo, achamos integrando as componentes parciais e conciliando as constantes de integração (funções de outras variáveis).
Passo 3
Aplicando a fórmula do rotacional ao campo dado. Aqui
,
,
. Calcule cada componente do rotacional:
Portanto
Passo 4
Interpretação e conclusão sobre conservatividade:
- O rotacional é nulo em todo
. - O domínio natural do campo é
, que é simplesmente conexo (não tem “buracos”). - Pelo teorema clássico: em um domínio simplesmente conexo, rotacional nulo implica que o campo é conservativo.
Logo,é conservativo.
Passo 5
Encontrar a função potencial
com
.
Temos as equações parciais
Temos as equações parciais
Integramos
em relação a
:
onde
é “constante” de integração em relação a
(pode depender de
).
Agora usamos . Diferenciando a expressão acima em relação a
:
Agora usamos
Mas sabemos que
deve ser
. Assim
Portanto
não depende de
:
para alguma função
.
Agora usamos . Diferenciando
em relação a
:
Agora usamos
Como
deve ser
, obtemos
Logo
é constante. Podemos escolher a constante igual a
(potencial é definido até constante aditiva). Assim uma função potencial conveniente é
Passo 6
Usar a função potencial para calcular a integral de linha entre
e
.
Teorema fundamental para campos conservativos: a integral de linha é independente do caminho e vale a diferença dos potenciais nos extremos:
Teorema fundamental para campos conservativos: a integral de linha é independente do caminho e vale a diferença dos potenciais nos extremos:
Calcule os valores:
Portanto
Resposta
É conservativo: sim.
Função potencial: (pode tomar
).
Integral de linha .
Função potencial:
Integral de linha