Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em D \subset \mathbb{R}^{3}, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial \varphi tal que \nabla \varphi=\vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x} \cos y,-e^{x} \sin y, 0\right), \quad D=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para cada campo vetorial decidir se ele é conservativo (isto é, se admite potencial escalar) e, sendo conservativo, encontrar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
Informações fornecidas:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\big(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y,\,0\big).
  • O domínio é D=\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa ser conservativo? Vou explicar devagarinho.
  • Um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\nabla\varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi,\partial_z\varphi)=\vec{F}.
Isto é, \partial_x\varphi=F_1, \partial_y\varphi=F_2 e \partial_z\varphi=F_3.
  • Uma ferramenta muito usada: se o domínio é simplesmente conexo e \vec{F} é suficientemente suave (derivadas parciais contínuas), então uma condição equivalente é
\nabla\times\vec{F}=\vec{0},
ou seja, o rotacional (curl) de \vec{F} é zero em todo o domínio. Aqui:
  • \nabla\times\vec{F}=\left(\partial_y F_3-\partial_z F_2,\;\partial_z F_1-\partial_x F_3,\;\partial_x F_2-\partial_y F_1\right).
  • Observação sobre o domínio: \mathbb{R}^3 é aberto e simplesmente conexo, então, se o rotacional for zero em todo \mathbb{R}^3, \vec{F} é conservativo globalmente.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de \vec{F}. Primeiro lembro os componentes:
F_1(x,y,z)=e^{x}\cos y,\qquad F_2(x,y,z)=-e^{x}\sin y,\qquad F_3(x,y,z)=0.
Agora aplico a fórmula do rotacional componente a componente:
\nabla\times\vec{F}=\left(\partial_y F_3-\partial_z F_2,\;\partial_z F_1-\partial_x F_3,\;\partial_x F_2-\partial_y F_1\right).

Passo 4

Calculo de cada componente do rotacional:
  • Primeira componente:
\partial_y F_3-\partial_z F_2=\partial_y(0)-\partial_z(-e^{x}\sin y)=0-0=0,
pois F_3 é zero e F_2 não depende de z.
  • Segunda componente:
\partial_z F_1-\partial_x F_3=\partial_z(e^{x}\cos y)-\partial_x(0)=0-0=0,
pois F_1 não depende de z e F_3=0.
  • Terceira componente:
\partial_x F_2-\partial_y F_1=\partial_x(-e^{x}\sin y)-\partial_y(e^{x}\cos y).
Calculo cada termo:
\partial_x(-e^{x}\sin y)=-e^{x}\sin y,
\partial_y(e^{x}\cos y)=e^{x}(-\sin y)=-e^{x}\sin y.
Portanto
\partial_x F_2-\partial_y F_1 = -e^{x}\sin y - (-e^{x}\sin y)=0.

Passo 5

Somando as componentes, obtemos
\nabla\times\vec{F}=(0,0,0).
Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, concluímos que \vec{F} é conservativo e admite potencial escalar global.

Passo 6

Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Escrevo as equações das derivadas parciais:
\partial_x\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y,\qquad \partial_y\varphi(x,y,z)=-e^{x}\sin y,\qquad \partial_z\varphi(x,y,z)=0.

Passo 7

Integro a primeira igualdade em relação a x (tratando y,z como constantes):
\varphi(x,y,z)=\int e^{x}\cos y\,dx = e^{x}\cos y + C(y,z),
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
Explicando: quando integro \partial_x\varphi em x, recupero \varphi até uma função que não depende de x (pode depender das outras variáveis).

Passo 8

Uso a condição para \partial_y\varphi. A partir da expressão encontrada:
\partial_y\varphi(x,y,z)=\partial_y\big(e^{x}\cos y + C(y,z)\big)= -e^{x}\sin y + \partial_y C(y,z).
Mas precisamos que \partial_y\varphi=F_2=-e^{x}\sin y. Igualando,
-e^{x}\sin y + \partial_y C(y,z) = -e^{x}\sin y \quad\Rightarrow\quad \partial_y C(y,z)=0.
Logo C não depende de y; isto é, C(y,z)=h(z) para alguma função h de z só.

Passo 9

Agora uso a terceira condição \partial_z\varphi=F_3=0. Da expressão
\partial_z\varphi(x,y,z)=\partial_z\big(e^{x}\cos y + h(z)\big)=h'(z).
Como isto deve ser igual a zero para todo z,
h'(z)=0 \quad\Rightarrow\quad h(z)=\text{constante}.
Portanto a função C é apenas uma constante real. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido à constante aditiva).

Passo 10

Concluímos que uma função potencial válida é
\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + C,
onde C é constante arbitrária. A escolha usual é C=0, então
\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y.
Verificação rápida: calcule \nabla\varphi:
\partial_x\varphi=e^{x}\cos y,\quad \partial_y\varphi=-e^{x}\sin y,\quad \partial_z\varphi=0,
que coincidem com os componentes de \vec{F}.

Resposta

Sim. \varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + C (por exemplo, \varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y).

Exercícios relacionados