Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em
, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado pede para cada campo vetorial decidir se ele é conservativo (isto é, se admite potencial escalar) e, sendo conservativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Informações fornecidas:
- O campo vetorial é
. - O domínio é
.
Passo 2
O que significa ser conservativo? Vou explicar devagarinho.
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que
Isto é,
,
e
.
- Uma ferramenta muito usada: se o domínio é simplesmente conexo e
é suficientemente suave (derivadas parciais contínuas), então uma condição equivalente é
ou seja, o rotacional (curl) de
é zero em todo o domínio. Aqui:
-
- Observação sobre o domínio:
é aberto e simplesmente conexo, então, se o rotacional for zero em todo , é conservativo globalmente.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Primeiro lembro os componentes:
Agora aplico a fórmula do rotacional componente a componente:
Passo 4
Calculo de cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
pois
é zero e
não depende de
.
- Segunda componente:
pois
não depende de
e
.
- Terceira componente:
Calculo cada termo:
Portanto
Passo 5
Somando as componentes, obtemos
Como
em todo
e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo e admite potencial escalar global.
Passo 6
Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial
tal que
. Escrevo as equações das derivadas parciais:
Passo 7
Integro a primeira igualdade em relação a
(tratando
como constantes):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Explicando: quando integro
em
, recupero
até uma função que não depende de
(pode depender das outras variáveis).
Passo 8
Uso a condição para
. A partir da expressão encontrada:
Mas precisamos que
. Igualando,
Logo
não depende de
; isto é,
para alguma função
de
só.
Passo 9
Agora uso a terceira condição
. Da expressão
Como isto deve ser igual a zero para todo
,
Portanto a função
é apenas uma constante real. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido à constante aditiva).
Passo 10
Concluímos que uma função potencial válida é
onde
é constante arbitrária. A escolha usual é
, então
Verificação rápida: calcule
:
que coincidem com os componentes de
.
Resposta
Sim.
(por exemplo,
).