Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em
, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido no domínio
, ou seja, no espaço todo exceto a reta
(o eixo
). A pergunta é: o campo é conservativo em
? Se for, encontrar uma função potencial
tal que
.
Informações relevantes dadas:
- As componentes de
são , e . - O domínio
exclui toda a reta (o eixo ), isto é, todos os pontos com e . - Deve-se decidir se existe uma função escalar
definida em todo com .
Passo 2
Definição e estratégia (fácil e prática): um campo
é conservativo em um domínio se existe
tal que
. Dois fatos úteis:
- Se
então necessariamente (o rotor é nulo). Então calcular é um teste necessário. - Em domínios simplesmente conexos (sem “buracos”), a condição
é também suficiente para garantir existência de potencial. Porém, se o domínio não for simplesmente conexo, pode não ser suficiente — pode ocorrer que o rotor seja zero mas o campo não seja gradiente globalmente (campo “circulante” em torno de um buraco).
Vou primeiro calcular o rotor e depois analisar a topologia do domínio
.
Passo 3
Cálculo do rotor
. Usando a fórmula
e lembrando que
não dependem de
(e
), temos imediatamente as duas primeiras componentes iguais a zero:
Agora calculemos a terceira componente
com cuidado, desenvolvendo passo a passo.
Primeiro calcule
com
. Use a regra do quociente:
Depois calcule
com
:
Agora a diferença:
Portanto
Passo 4
Interpretação do passo anterior e observação topológica: o rotor é zero em
, então a condição necessária é satisfeita. Mas atenção pedagógica importante: isso não garante que exista um potencial definido em todo
porque
não é simplesmente conexo —
tem um “buraco” (a remoção do eixo
cria laços que não podem ser contraídos ao ponto). Para decidir definitivamente, preciso verificar se existe alguma curva fechada em
cujo integral de linha de
seja diferente de zero (isto impediria a existência de potencial global).
Vou calcular o integral de linha em uma curva fechada simples que rodeia o eixo
: a circunferência de raio
no plano
. Parâmetro:
Nesse parâmetro, o vetor tangente é
Avalie
ao longo da curva: como
,
O produto
é
Logo o integral de linha ao longo da volta completa é
Esse resultado é crucial: se
em todo
, então o integral de linha ao longo de qualquer curva fechada em
deveria ser zero (pois a integral de um gradiente depende apenas dos pontos finais). Como encontramos um loop fechado em
com integral
, concluímos que não existe função potencial
definida em todo
com
.
Passo 5
Comentário didático extra (útil para a prova): embora não haja potencial global em
, localmente, em regiões onde se pode escolher uma “folga” para o ângulo polar sem voltar ao ponto inicial, existe um potencial. Uma escolha natural de potencial local é a função ângulo
no plano
:
(ou, de forma mais robusta,
, escolhendo um ramo contínuo do ângulo). Vou mostrar que
sempre que
for bem definida (isto é, no domínio sem atravessar uma descontinuidade do ramo do ângulo).
Cálculo das derivadas parciais de
: escreva
. Então
e
Fatorando
obtemos
Analogamente,
E
. Portanto
onde
é bem definida e contínua. Isso confirma que
é localmente gradiente de
(ou seja, tem potencial em cada região que não rodeie o eixo
), mas
não pode ser definido de forma contínua em todo
sem singularidade (ao dar uma volta completa o ângulo muda de
para
), o que explica a não-existência de potencial global.
Passo 6
Conclusão final e palmadinha motivadora: o campo tem rotor nulo, mas por causa do “buraco” causado pela remoção do eixo
ele apresenta circulação não-nula em curvas que rodeiam o eixo; por isso não admite potencial escalar definido em todo o domínio
. Mas calma: em qualquer subdomínio simplesmente conexo de
(por exemplo,
com uma “fenda” radial removida) existe um potencial dado por
.
Resposta
O campo não é conservativo em
; não existe potencial
definido em todo
com
.
Potencial local (em qualquer região onde o ângulo polar seja bem definido e contínuo): .
Potencial local (em qualquer região onde o ângulo polar seja bem definido e contínuo):