Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em D \subset \mathbb{R}^{3}, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial \varphi tal que \nabla \varphi=\vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, 0\right), \quad D=\mathbb{R}^{3} \backslash\{(0,0, z)\}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\;0\right)
definido no domínio D=\mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,z)\}, ou seja, no espaço todo exceto a reta x=y=0 (o eixo z). A pergunta é: o campo é conservativo em D? Se for, encontrar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes de \vec{F} são P(x,y,z)=\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}, Q(x,y,z)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} e R(x,y,z)=0.
  • O domínio D exclui toda a reta (0,0,z) (o eixo z), isto é, todos os pontos com x=0 e y=0.
  • Deve-se decidir se existe uma função escalar \varphi definida em todo D com \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 2

Definição e estratégia (fácil e prática): um campo \vec{F} é conservativo em um domínio se existe \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Dois fatos úteis:
  1. Se \vec{F}=\nabla\varphi então necessariamente \nabla\times\vec{F}=\vec{0} (o rotor é nulo). Então calcular \nabla\times\vec{F} é um teste necessário.
  2. Em domínios simplesmente conexos (sem “buracos”), a condição \nabla\times\vec{F}=\vec{0} é também suficiente para garantir existência de potencial. Porém, se o domínio não for simplesmente conexo, \nabla\times\vec{F}=\vec{0} pode não ser suficiente — pode ocorrer que o rotor seja zero mas o campo não seja gradiente globalmente (campo “circulante” em torno de um buraco).
Vou primeiro calcular o rotor e depois analisar a topologia do domínio D.

Passo 3

Cálculo do rotor \nabla\times\vec{F}. Usando a fórmula
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),
e lembrando que P,P(x,y,z),Q,Q(x,y,z) não dependem de z (e R=0), temos imediatamente as duas primeiras componentes iguais a zero:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.
Agora calculemos a terceira componente \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} com cuidado, desenvolvendo passo a passo.
Primeiro calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} com Q(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}. Use a regra do quociente:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Depois calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} com P(x,y)=\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{(-1)(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora a diferença:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\qquad\text{em todo o domínio }D.í

Passo 4

Interpretação do passo anterior e observação topológica: o rotor é zero em D, então a condição necessária é satisfeita. Mas atenção pedagógica importante: isso não garante que exista um potencial definido em todo D porque D não é simplesmente conexo — D tem um “buraco” (a remoção do eixo z cria laços que não podem ser contraídos ao ponto). Para decidir definitivamente, preciso verificar se existe alguma curva fechada em D cujo integral de linha de \vec{F} seja diferente de zero (isto impediria a existência de potencial global).
Vou calcular o integral de linha em uma curva fechada simples que rodeia o eixo z: a circunferência de raio R>0 no plano z=0. Parâmetro:
x=R\cos t,\qquad y=R\sin t,\qquad z=0,\qquad t\in[0,2\pi].
Nesse parâmetro, o vetor tangente é
\mathrm{d}\vec{r}=(-R\sin t,\;R\cos t,\;0)\,\mathrm{d}t.
Avalie \vec{F} ao longo da curva: como x^{2}+y^{2}=R^{2},
\vec{F}=\left(\frac{-R\sin t}{R^{2}},\;\frac{R\cos t}{R^{2}},\;0\right)=\left(\frac{-\sin t}{R},\;\frac{\cos t}{R},\;0\right).
O produto \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} é
\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\left(\frac{-\sin t}{R}\right)(-R\sin t)\,\mathrm{d}t +\left(\frac{\cos t}{R}\right)(R\cos t)\,\mathrm{d}t =(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}t.
Logo o integral de linha ao longo da volta completa é
\oint_{\text{círculo}}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}t=2\pi.í
Esse resultado é crucial: se \vec{F}=\nabla\varphi em todo D, então o integral de linha ao longo de qualquer curva fechada em D deveria ser zero (pois a integral de um gradiente depende apenas dos pontos finais). Como encontramos um loop fechado em D com integral 2\pi\neq 0, concluímos que não existe função potencial \varphi definida em todo D com \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 5

Comentário didático extra (útil para a prova): embora não haja potencial global em D, localmente, em regiões onde se pode escolher uma “folga” para o ângulo polar sem voltar ao ponto inicial, existe um potencial. Uma escolha natural de potencial local é a função ângulo \theta no plano xy:
\theta(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
(ou, de forma mais robusta, \theta=\operatorname{atan2}(y,x), escolhendo um ramo contínuo do ângulo). Vou mostrar que \nabla\theta=\vec{F} sempre que \theta for bem definida (isto é, no domínio sem atravessar uma descontinuidade do ramo do ângulo).
Cálculo das derivadas parciais de \theta(x,y)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right): escreva u=\dfrac{y}{x}. Então \theta=\arctan(u) e
\frac{\partial \theta}{\partial x} =\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\left(\frac{-y}{x^{2}}\right).
Fatorando \dfrac{1}{1+(y/x)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{\partial \theta}{\partial x} =\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(\frac{-y}{x^{2}}\right) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Analogamente,
\frac{\partial \theta}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
E \partial\theta/\partial z=0. Portanto \nabla\theta=\vec{F} onde \theta é bem definida e contínua. Isso confirma que \vec{F} é localmente gradiente de \theta (ou seja, tem potencial em cada região que não rodeie o eixo z), mas \theta não pode ser definido de forma contínua em todo D sem singularidade (ao dar uma volta completa o ângulo muda de 0 para 2\pi), o que explica a não-existência de potencial global.

Passo 6

Conclusão final e palmadinha motivadora: o campo tem rotor nulo, mas por causa do “buraco” causado pela remoção do eixo z ele apresenta circulação não-nula em curvas que rodeiam o eixo; por isso não admite potencial escalar definido em todo o domínio D. Mas calma: em qualquer subdomínio simplesmente conexo de D (por exemplo, D com uma “fenda” radial removida) existe um potencial dado por \varphi(x,y,z)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+C.

Resposta

O campo não é conservativo em D=\mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,z)\}; não existe potencial \varphi definido em todo D com \nabla\varphi=\vec{F}.
Potencial local (em qualquer região onde o ângulo polar seja bem definido e contínuo): \varphi(x,y,z)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+C.

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