Em cada caso abaixo, calcule a integral definida da função f, no intervalo I.
d) f(x)=x+|cos x| ; I=[-pi, pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
f(x)=x+|cos x|
no intervalo I=[-pi,pi].
O conteúdo principal é usar a linearidade da integral e as propriedades de paridade (funções ímpares e pares) para simplificar o cálculo.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
integral-pi^pil(x+|cos x|r),dx =integral-pi^pix,dx;+;integral-pi^pi|cos x|,dx

Passo 3

A função x é ímpar, ou seja ,x=-(-x), e o intervalo é simétrico em torno de zero. Logo
integral-pi^pix,dx=0

Passo 4

A função |cos x| é par, pois |cos(-x)|=|cos x|. Assim
integral-pi^pi|cos x|,dx =2integral0^pi|cos x|,dx
No intervalo [0,pi], cos x>=0 em [0,tfracpi2] e cos x<=0 em [tfracpi2,pi]. Vamos dividir a integral:

Passo 5

integral0^pi|cos x|,dx =integral0^pi/2cos x,dx +integralpi/2^pi(-cos x),dx
Calculando cada parte:
integral0^pi/2cos x,dx =l[sin xr]0^pi/2 =1,
integralpi/2^pi(-cos x),dx =-l[sin xr]pi/2^pi =-(0-1)=1
Portanto
integral0^pi|cos x|,dx=1+1=2,
e
integral-pi^pi|cos x|,dx=2cdot2=4

Passo 6

Somando as duas partes obtidas:
integral-pi^pix,dx=0, integral-pi^pi|cos x|,dx=4,
logo
integral-pi^pil(x+|cos x|r),dx =0+4=4

Resposta

4

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