Para cada função f dada abaixo, encontre sua expansão de Taylor em torno do ponto indicado:
f(x)=12 x+1 ; a=3.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
f(x)=12x+1
em torno de a=3.
O conteúdo necessário é reconhecer que, após mudança de variável t=x-3, podemos escrever f como uma série geométrica do tipo
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
para |u|<1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x-3,
logo x = 3 + t. Substituindo em 2x+1 obtemos
2x+1 = 2(3+t)+1 = 7 + 2t = 7l(1 + 2t7r)
Portanto
f(x) = 12x+1 = 17,11 + 2t7 = 17,11+u,
onde definimos
u = 2t7 = 2(x-3)7

Passo 3

Sabendo que para |u|<1 vale a série geométrica
11+u = sumn=0^infty(-1)^n u^n,
temos então
f(x) = 17sumn=0^infty(-1)^nl(2(x-3)7r)^n = sumn=0^infty(-1)^n2^n7^,n+1,(x-3)^n

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos da série, obtemos
f(x) = 17 - 27^2(x-3) + 2^27^3(x-3)^2 - 2^37^4(x-3)^3 + cdots
com raio de convergência dado por
gl|2(x-3)7gr|<1 Longrightarrow |x-3|<72

Resposta

boxedf(x)=sumn=0^infty(-1)^n,2^n7^,n+1,(x-3)^n, |x-3|<tfrac72

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