(2,0) Disserte sobre o tema Funções deriváveis, abordando definições, exemplos e principais resultados, como:
Operações com funções deriváveis,
Derivada da função inversa,
Derivada de funções compostas,
Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio e aplicações.
Passo 1
O enunciado pede uma visão geral sobre funções deriváveis: queremos partir da definição de derivada, ver exemplos básicos e estudar os principais resultados — operações com funções deriváveis, derivada da inversa, regra da cadeia, Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio — além de algumas aplicações simples.
Passo 2
Definimos que uma função está derivável num ponto se existe o limite
Quando esse limite existe, dizemos que é derivável em . Um fato importante é que derivabilidade implica continuidade em .
Exemplo: para ,
Passo 3
Se e são deriváveis em , então valem as fórmulas:
desde que .
Exemplo rápido: se e , então
Passo 4
Teorema da derivada da inversa: se é contínua e estritamente monótona em um intervalo e derivável em com , então a inversa é derivável em e
Exemplo: é derivável e invertível, , e
Passo 5
Regra da cadeia (função composta): se f é derivável em x e g é derivável em f(x), então a composta gcirc f é derivável em x e
(gcirc f)'(x)=g'l(f(x)r),f'(x)
Exemplo: f(x)=x^2, g(u)=sin u. Então
ddxsin(x^2) =cos(x^2)cdot2x
Passo 6
Teorema de Rolle: se f é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe cin(a,b) tal que f'(c)=0.
Ideia de prova: pelo Teorema de Weierstrass, f atinge máximo ou mínimo em [a,b]. Como nos extremos f(a)=f(b), esse extremo ocorre em ponto interior, onde a derivada é zero.
Exemplo: em f(x)=sin x no intervalo [0,pi], temos sin0=sinpi, logo existe c em (0,pi) com f'(c)=cos c=0, isto é, c=tfracpi2.
Passo 7
Teorema do Valor Médio (Lagrange): se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Aplicações:
Se f'(x)=0 em todo intervalo, f é constante.
Se f'(x)>0 (resp. <0) então f é estritamente crescente (resp. decrescente).
Estimativas de erro em aproximações lineares:
f(b)approx f(a)+f'(a)(b-a),
com resto controlado por max f''.
Resposta
Apresentamos a definição de derivada e sua relação com continuidade, exemplificamos a diferenciação direta, estabelecemos as regras de soma, produto, quociente, da inversa e da cadeia, e demonstramos o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio, mostrando aplicações à monotonicidade e ao cálculo aproximado de funções.