(2,0) Disserte sobre o tema Funções deriváveis, abordando definições, exemplos e principais resultados, como:
  • Operações com funções deriváveis,
  • Derivada da função inversa,
  • Derivada de funções compostas,
  • Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio e aplicações.

Passo 1

O enunciado pede uma visão geral sobre funções deriváveis: queremos partir da definição de derivada, ver exemplos básicos e estudar os principais resultados — operações com funções deriváveis, derivada da inversa, regra da cadeia, Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio — além de algumas aplicações simples.

Passo 2

Definimos que uma função f está derivável num ponto x0 se existe o limite
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h
Quando esse limite existe, dizemos que f é derivável em x0. Um fato importante é que derivabilidade implica continuidade em x0.
Exemplo: para f(x)=x^2,
f'(x)=limhto0(x+h)^2-x^2h =limhto02xh+h^2h =2x

Passo 3

Se f e g são deriváveis em x, então valem as fórmulas:
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x),
(alpha f)'(x)=alpha,f'(x)(alpha constante),
(fg)'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x),
l(tfracfgr)'(x) =f'(x),g(x)-f(x),g'(x)[g(x)]^2,
desde que g(x)neq0.
Exemplo rápido: se f(x)=x^2 e g(x)=sin x, então
(fg)'(x)=2xsin x + x^2cos x

Passo 4

Teorema da derivada da inversa: se f é contínua e estritamente monótona em um intervalo e derivável em x com f'(x)neq0, então a inversa f^-1 é derivável em y=f(x) e
(f^-1)'(y)=1f'(x)
Exemplo: f(x)=e^x é derivável e invertível, f^-1(y)=ln y, e
(ln y)'=1e^x|y=e^x=1y

Passo 5

Regra da cadeia (função composta): se f é derivável em x e g é derivável em f(x), então a composta gcirc f é derivável em x e
(gcirc f)'(x)=g'l(f(x)r),f'(x)
Exemplo: f(x)=x^2, g(u)=sin u. Então
ddxsin(x^2) =cos(x^2)cdot2x

Passo 6

Teorema de Rolle: se f é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe cin(a,b) tal que f'(c)=0.
Ideia de prova: pelo Teorema de Weierstrass, f atinge máximo ou mínimo em [a,b]. Como nos extremos f(a)=f(b), esse extremo ocorre em ponto interior, onde a derivada é zero.
Exemplo: em f(x)=sin x no intervalo [0,pi], temos sin0=sinpi, logo existe c em (0,pi) com f'(c)=cos c=0, isto é, c=tfracpi2.

Passo 7

Teorema do Valor Médio (Lagrange): se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Aplicações:
  1. Se f'(x)=0 em todo intervalo, f é constante.
  2. Se f'(x)>0 (resp. <0) então f é estritamente crescente (resp. decrescente).
  3. Estimativas de erro em aproximações lineares:
f(b)approx f(a)+f'(a)(b-a),
com resto controlado por max f''.

Resposta

Apresentamos a definição de derivada e sua relação com continuidade, exemplificamos a diferenciação direta, estabelecemos as regras de soma, produto, quociente, da inversa e da cadeia, e demonstramos o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio, mostrando aplicações à monotonicidade e ao cálculo aproximado de funções.

Exercícios relacionados