Questão 1 (2,5 pontos)
Determine uma solução particular por variação de parâmetros, da EDOLN̂H:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^5 xx^3

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular por variação de parâmetros para a EDOL de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = e^5xx^3
O conteúdo é a técnica de variação de parâmetros, onde usamos a solução geral da homogênea e o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y'' - 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0
com raízes r=2 e r=3. Logo escolhemos
y1(x) = e^2x, y2(x) = e^3x
A fórmula de variação de parâmetros dá
yp(x) = -y1(x)integral y2(x),g(x)W(x),dx + y2(x)integral y1(x),g(x)W(x),dx,
onde g(x)=e^5x/x^3 e W(x) é o Wronskiano de y1,y2.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(x) = e^2x & e^3x[6pt] 2e^2x & 3e^3x = e^2xcdot 3e^3x - e^3xcdot 2e^2x = e^5x
Logo
g(x)W(x) = e^5x/x^3 e^5x = 1x^3 ]

Passo 4

Substituindo em variação de parâmetros:
yp(x) = -e^2xintegral e^3xx^3,dx + e^3xintegral e^2xx^3,dx
Esses integrais não se reduzem a funções elementares e podem ser deixados em forma de integral ou expressos em termos da função exponencial integral.

Resposta

boxedyp(x) = -e^2xintegral e^3xx^3,dx + e^3xintegral e^2xx^3,dx

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