Exercício 4. (F. 3.2, ex.2) Mostre que o conjunto
das funções
, em que
, é um conjunto ortonormal, ou seja,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
são ortonormais em
[0,l] , isto é,
O conteúdo usado aqui é a ortogonalidade de cossenos de frequências diferentes, mais a normalização para obter 1 no caso
n=m .
Passo 2
Escrevemos o produto escalar usando as definições
onde definimos
Passo 3
Aplicamos a fórmula produto-para-soma:
Logo
Passo 4
Considere primeiro o caso
nneq m .
Entãoapm bneq0 e
Então
Mas
e
sin(kpi)=0 para todo inteiro
k . Assim cada integral vale zero, e
Passo 5
Agora o caso
n=m . Temos
a=b e portanto
Como
2a,l=(2n-1)pi faz
sin(2a l)=0 , fica
Multiplicando pelo fator
2/l da normalização, obtemos