Exercício 4. (F. 3.2, ex.2) Mostre que o conjunto phinn=1^infty das funções phin:[0, l] C, em que phin(x)= (2l)^12 cos ((n-12) pi xl), n >= 1, é um conjunto ortonormal, ou seja,
lang<=phin, phinrang<==integral0^l phin(x) phin(x) d x=de<an m=l 1, n=m 0, n neq m

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
phin(x)=l(2lr)^tfrac12cos!l(l(n-tfrac12r)tfracpi xlr) (n>=1)
são ortonormais em [0,l], isto é,
llang<=phin,phimrrang<= =integral0^lphin(x),phim(x),dx =de<anm
O conteúdo usado aqui é a ortogonalidade de cossenos de frequências diferentes, mais a normalização para obter 1 no caso n=m.

Passo 2

Escrevemos o produto escalar usando as definições
llang<=phin,phimrrang<= =integral0^lphin(x),phim(x),dx =2lintegral0^lcos(a x),cos(b x),dx,
onde definimos
a=l(n-tfrac12r)pil, b=l(m-tfrac12r)pil

Passo 3

Aplicamos a fórmula produto-para-soma:
cos(a x)cos(b x) =12l[cosl((a-b)xr)+cosl((a+b)xr)r]
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2lintegral0^lcos(a x)cos(b x),dx =1lintegral0^lcosl((a-b)xr),dx +1lintegral0^lcosl((a+b)xr),dx

Passo 4

Considere primeiro o caso nneq m.
Então apm bneq0 e
integral0^lcosl((apm b)xr),dx =sinl((apm b)lr)apm b-0
Mas
(a-b)l=(n-m)pi, (a+b)l=(n+m-1)pi,
e sin(kpi)=0 para todo inteiro k. Assim cada integral vale zero, e
llang<=phin,phimrrang<==0 (nneq m)

Passo 5

Agora o caso n=m. Temos a=b e portanto
integral0^lcos^2(a x),dx =integral0^l1+cos(2a x)2,dx =12,l +12,sin(2a l)2a
Como 2a,l=(2n-1)pi faz sin(2a l)=0, fica
integral0^lcos^2(a x),dx=l2
Multiplicando pelo fator 2/l da normalização, obtemos
llang<=phin,phinrrang<= =2lcdotl2=1

Resposta

llang<=phin,phimrrang<= =de<anm

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