Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
c.
. [resp.: 0.]
c.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de (2y dx + 2x dy)/(xy+1)^2 entre os pontos (0,2) e (1,0). O conteúdo envolvido é integral de linha de campo conservativo e função potencial, então vamos buscar uma diferencial exata.
Passo 2
Observe que, se definirmos
, temos
. Dessa forma, o numerador
pode ser escrito como
.
Reescrevendo a integral em termos de , obtemos
.
Reescrevendo a integral em termos de
Passo 3
Calculando a primitiva, temos
, isto é, a função potencial é
.
Passo 4
Como a integral independe do caminho, basta avaliar a primitiva nos pontos final e inicial: em (1,0),
; em (0,2),
. A diferença é
.
Resposta
0