Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
c. integral(0,2)^(1,0) 2 y d x+2 x d y(x y+1)^2. [resp.: 0.]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de (2y dx + 2x dy)/(xy+1)^2 entre os pontos (0,2) e (1,0). O conteúdo envolvido é integral de linha de campo conservativo e função potencial, então vamos buscar uma diferencial exata.

Passo 2

Observe que, se definirmos u = xy + 1, temos du = y,dx + x,dy. Dessa forma, o numerador 2y,dx + 2x,dy pode ser escrito como 2,du.
Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos integral 2,u^-2,du.

Passo 3

Calculando a primitiva, temos integral 2,u^-2,du = -2,u^-1 + C, isto é, a função potencial é -2/(xy+1) + C.

Passo 4

Como a integral independe do caminho, basta avaliar a primitiva nos pontos final e inicial: em (1,0), -2/(1·0+1) = -2; em (0,2), -2/(0·2+1) = -2. A diferença é -2 - (-2) = 0.

Resposta

0

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