( 0,4 pts ) Dê o domínio das funções abaixo:
Passo 1
No exercício, precisamos encontrar o domínio da função $ f(x) = \ln\left(\frac{e{x}}{x{2}+1}\right) $. Vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e suas restrições para resolver.
Passo 2
Sabemos que a função logaritmo natural, $ \ln(u) $, está definida apenas quando $ u > 0 $. Portanto, precisamos garantir que o argumento do logaritmo seja maior que zero:
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
- O numerador, $ e^{x} $, é sempre maior que zero para qualquer valor de $ x $.
- O denominador, $ x^{2} + 1 $, também é sempre maior que zero, já que $ x^{2} $ é não negativo e somando 1 sempre resulta em um valor positivo.
Passo 4
Como tanto o numerador quanto o denominador são sempre positivos, a fração $ \frac{e{x}}{x{2}+1} $ será sempre positiva para qualquer valor real de $ x $.
Resposta
Portanto, o domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.