( 0,4 pts ) Dê o domínio das funções abaixo:
f(x)=ln (e^xx^2+1)

Passo 1

No exercício, precisamos encontrar o domínio da função $ f(x) = \ln\left(\frac{e{x}}{x{2}+1}\right) $. Vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e suas restrições para resolver.

Passo 2

Sabemos que a função logaritmo natural, $ \ln(u) $, está definida apenas quando $ u > 0 $. Portanto, precisamos garantir que o argumento do logaritmo seja maior que zero:
ln(u)

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • O numerador, $ e^{x} $, é sempre maior que zero para qualquer valor de $ x $.
  • O denominador, $ x^{2} + 1 $, também é sempre maior que zero, já que $ x^{2} $ é não negativo e somando 1 sempre resulta em um valor positivo.

Passo 4

Como tanto o numerador quanto o denominador são sempre positivos, a fração $ \frac{e{x}}{x{2}+1} $ será sempre positiva para qualquer valor real de $ x $.

Resposta

Portanto, o domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.

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