Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional, especificamente
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica e conhecimento sobre integrais conhecidas, como a integral da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que sabemos integrar
, que é a derivada da função arco-tangente (
). Mas aqui temos
, que é um pouco mais complicada. Então, vamos tentar simplificar integrando por partes ou usando uma substituição adequada.
Passo 3
Vamos usar uma substituição trigonométrica para facilitar a integração. Vamos definir
. Isso é útil porque sabemos que
. Com essa substituição, também precisamos calcular
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Sabemos que
, então substituindo isso na integral temos:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
e
Então, somando os dois resultados:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembramos que fizemos a substituição
, então:
E também, usando a identidade trigonométrica para
:
Como
, sabemos que
e
. Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
Portanto, a integral indefinida de
é: