Calcule as integrais indefinidas
integral 1(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 1(1+x^2)^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional, especificamente 1(1 + x^2)^2. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica e conhecimento sobre integrais conhecidas, como a integral da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sabemos integrar 11 + x^2, que é a derivada da função arco-tangente ( tan^-1x). Mas aqui temos 1(1 + x^2)^2, que é um pouco mais complicada. Então, vamos tentar simplificar integrando por partes ou usando uma substituição adequada.

Passo 3

Vamos usar uma substituição trigonométrica para facilitar a integração. Vamos definir x = tan theta. Isso é útil porque sabemos que 1 + tan^2 theta = sec^2 theta. Com essa substituição, também precisamos calcular dx:
dx = sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral 1(1 + x^2)^2 , dx = integral 1(1 + tan^2 theta)^2 cdot sec^2 theta , dtheta
Sabemos que 1 + tan^2 theta = sec^2 theta, então substituindo isso na integral temos:
integral 1sec^4 theta cdot sec^2 theta , dtheta = integral cos^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2 theta. Para isso, usamos a identidade trigonométrica que relaciona cos^2 theta com cos 2theta:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral fica:
integral cos^2 theta , dtheta = integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral 1 , dtheta = 12 theta
e
12 integral cos 2theta , dtheta = 12 cdot sin 2theta2 = sin 2theta4
Então, somando os dois resultados:
12 theta + sin 2theta4 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembramos que fizemos a substituição x = tan theta, então:
theta = tan^-1 x
E também, usando a identidade trigonométrica para sin 2theta:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Como x = tan theta, sabemos que sin theta = xraiz1 + x^2 e cos theta = 1raiz1 + x^2. Então:
sin 2theta = 2 cdot xraiz1 + x^2 cdot 1raiz1 + x^2 = 2x1 + x^2

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da integral:
12 theta + sin 2theta4 + C = 12 tan^-1 x + 14 cdot 2x1 + x^2 + C = 12 tan^-1 x + x2(1 + x^2) + C

Resposta

Portanto, a integral indefinida de 1(1+x^2)^2 é:
integral 1(1+x^2)^2 , dx = x2(1 + x^2) + 12 tan^-1x + C

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