Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
integral(0,0,0)^(1,1,1)(y+z) d x+(x+z) d y+(x+y) d z.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integral(0,0,0)^(1,1,1)(y+z),dx + (x+z),dy + (x+y),dz
e afirma que ela independe do caminho, ou seja, o campo
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(y+z,;x+z,;x+yr)
é conservativo. Logo existe uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f = F e a integral vale
f(1,1,1) - f(0,0,0)

Passo 2

Para achar f, integramos P=y+z em relação a x:
f(x,y,z) = integral (y+z),dx = xy + xz + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função a determinar.

Passo 3

Derivando f em relação a y obtemos
partial fpartial y = x + partial gpartial y
e como deve ser igual a Q=x+z, temos
x + partial gpartial y = x + z Longrightarrow partial gpartial y = z
Integramos em y:
g(y,z) = yz + h(z),
com h(z) a determinar.

Passo 4

Agora derivamos f em relação a z:
partial fpartial z = x + y + h'(z)
e igualamos a R = x+y, logo
x + y + h'(z) = x + y Longrightarrow h'(z)=0
e h(z) é constante, que podemos tomar zero.
Dessa forma
f(x,y,z) = xy + xz + yz

Passo 5

A integral é
f(1,1,1) - f(0,0,0) = l(1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1r) - 0 = 3

Resposta

3

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