Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
.
Passo 1
Temos a integral de linha de um campo
em
, com
avaliada de
até
. Como o enunciado afirma que a integral independe do caminho, o campo é conservativo e existe uma função potencial
tal que
Basta então encontrar
e calcular
.
Passo 2
Integramos
em relação a
, tratando
como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender apenas de
.
Passo 3
Agora impondo
, calculamos
que deve coincidir com
Daí obtemos
Passo 4
Integramos
em
:
onde
é outra função “constante”, agora só de
.
Passo 5
Por fim impomos
. Temos
então
que deve ser igual a
. Logo
e podemos tomar
. Assim
Passo 6
Calculamos
nos pontos extremos:
Portanto a integral vale