Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
integral(2,0,1)^(0, pi, 3)(e^x sen y+y z) d x+(e^x cos y+z sen y+x z) d y+(x y-cos y) d z.

Passo 1

Temos a integral de linha de um campo F=(P,Q,R) em R^3, com
P(x,y,z)=e^xsin y + y z, Q(x,y,z)=e^xcos y + zsin y + xz, R(x,y,z)=x y - cos y,
avaliada de (2,0,1) até (0,pi,3). Como o enunciado afirma que a integral independe do caminho, o campo é conservativo e existe uma função potencial phi(x,y,z) tal que
partial phipartial x=P, partial phipartial y=Q, partial phipartial z=R
Basta então encontrar phi e calcular phi(0,pi,3)-phi(2,0,1).

Passo 2

Integramos partialphi/partial x=P em relação a x, tratando y,z como constantes:
phi(x,y,z) =integrall(e^xsin y + y zr),dx =e^xsin y + x,y,z + h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender apenas de y,z.

Passo 3

Agora impondo partialphi/partial y=Q, calculamos
partialphipartial y =partialpartial yl(e^xsin yr) +partialpartial y(x y z) +partial hpartial y =e^xcos y + xz + hy(y,z),
que deve coincidir com
Q=e^xcos y + zsin y + xz
Daí obtemos
hy(y,z)=zsin y

Passo 4

Integramos hy(z,y)=zsin y em y:
h(y,z)=integral zsin y,dy =-zcos y + k(z),
onde k(z) é outra função “constante”, agora só de z.

Passo 5

Por fim impomos partialphi/partial z=R. Temos
phi(x,y,z)=e^xsin y + x,y,z - zcos y + k(z),
então
partialphipartial z =xy - cos y + k'(z)
que deve ser igual a R=xy-cos y. Logo k'(z)=0 e podemos tomar k(z)=0. Assim
phi(x,y,z)=e^xsin y + x,y,z - zcos y

Passo 6

Calculamos phi nos pontos extremos:
phi(0,pi,3) =e^0sinpi + 0cdotpicdot3 - 3cospi =0 + 0 -3(-1) =3,
phi(2,0,1) =e^2sin0 + 2cdot0cdot1 - 1cos0 =0 + 0 -1 =-1
Portanto a integral vale
phi(0,pi,3)-phi(2,0,1)=3 - (-1)=4

Resposta

4

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