Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
integral(0,-1)^(1,2)(2 y-x) d x+(2 x+y^2) d y.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integral(0,-1)^(1,2) (2y - x),dx + (2x + y^2),dy
que independe do caminho, ou seja, é um campo vetorial conservativo. Para resolver, vamos buscar uma função potencial f(x,y) tal que
df = (2y - x),dx + (2x + y^2),dy

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo
partialpartial y(2y - x) = 2, partialpartial x(2x + y^2) = 2
Como ambas derivadas coincidem, a forma é exata e existe função potencial.

Passo 3

Integramos partial f/partial x = 2y - x em relação a x:
f(x,y) = integral (2y - x),dx = 2yx - x^22 + g(y)
Agora derivamos em y e igualamos a 2x + y^2:
partial fpartial y = 2x + g'(y) = 2x + y^2 Longrightarrow g'(y) = y^2 Longrightarrow g(y) = y^33
Logo a potencial é
f(x,y) = 2xy - x^22 + y^33

Passo 4

Como a integral independe do caminho,
integral(0,-1)^(1,2) (2y - x),dx + (2x + y^2),dy = f(1,2) - f(0,-1)
Calculamos
f(1,2) = 2cdot1cdot2 - 1^22 + 2^33 = 4 - 12 + 83 = 376,
f(0,-1) = 2cdot0cdot(-1) - 0 + (-1)^33 = -13 = -26
Portanto
f(1,2) - f(0,-1) = 376 - l(-13r) = 376 + 26 = 396 = 132

Resposta

132

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