Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a
-forma
em
e pede para verificar se ela é exata (campo conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma potencial
. Em domínios simplesmente conexos (como
), basta conferir as igualdades das derivadas parciais cruzadas de seus coeficientes.
Passo 2
Identifiquemos
Calculemos as derivadas cruzadas:
Passo 3
Como
a forma é exata e o campo é conservativo.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é “constante” de integração em
.
Passo 5
Comparando com
, temos
Logo
e
Passo 6
Por fim, igualamos
a
:
Integrando,
. Podemos absorver a constante na potencial.
Resposta
A forma é exata e uma função potencial é