Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
(e^x sen z+2 y z) d x+(2 x z+2 y) d y+(e^x cos z+2 x y+3 z^2) d z.

Passo 1

O enunciado nos dá a 1-forma
omega = (e^xsin z+2yz),dx + (2xz+2y),dy + (e^xcos z+2xy+3z^2),dz
em R^3 e pede para verificar se ela é exata (campo conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma potencial phi(x,y,z). Em domínios simplesmente conexos (como R^3), basta conferir as igualdades das derivadas parciais cruzadas de seus coeficientes.

Passo 2

Identifiquemos
P(x,y,z)=e^xsin z+2yz, Q(x,y,z)=2xz+2y, R(x,y,z)=e^xcos z+2xy+3z^2
Calculemos as derivadas cruzadas:
partial Ppartial y=2z,\quad
partial Qpartial x=2z.
partial Ppartial z=e^xcos z+2y,\quad
partial Rpartial x=e^xcos z+2y.
partial Qpartial z=2x,\quad
partial Rpartial y=2x.

Passo 3

Como
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y,
a forma é exata e o campo é conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial phi, integramos P em relação a x:
phi(x,y,z)=integrall(e^xsin z+2yzr),dx =e^xsin z+2xyz +h(y,z),
onde h(y,z) é “constante” de integração em x.

Passo 5

Comparando com Q=partialphi/partial y, temos
partialphipartial y =2xz + partial hpartial y overset!=2xz+2y Longrightarrow partial hpartial y=2y
Logo
h(y,z)=y^2+k(z),
e
phi(x,y,z)=e^xsin z+2xyz+y^2+k(z)

Passo 6

Por fim, igualamos partialphi/partial z a R:
partialphipartial z =e^xcos z +2xy + k'(z) overset!=e^xcos z+2xy+3z^2 Longrightarrow k'(z)=3z^2
Integrando, k(z)=z^3+constante. Podemos absorver a constante na potencial.

Resposta

A forma é exata e uma função potencial é
phi(x,y,z)=e^xsin z+2xyz+y^2+z^3

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