Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
f(x)=\frac{x+2}{\left|x^{2}-4\right|}, a=-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais de
f(x)=\frac{x+2}{\lvert x^2-4\rvert}
no ponto a=-2. O conteúdo envolvido é a definição de limite lateral e a manipulação de valor absoluto, usando que
x^2-4=(x-2)(x+2)
e que
\lvert x^2-4\rvert = \begin{cases} x^2-4, & x^2-4\ge0,\\\\ -(x^2-4)=4-x^2, & x^2-4<0. \end{cases}

Passo 2

Para x<-2 temos x^2>4, logo x^2-4>0 e
\lvert x^2-4\rvert = x^2-4.
Nesse caso
f(x)=\frac{x+2}{x^2-4} =\frac{x+2}{(x+2)(x-2)} =\frac{1}{x-2}.
Portanto
\lim_{x\to -2^-}f(x) =\lim_{x\to -2^-}\frac{1}{x-2} =\frac{1}{-2-2} =-\frac{1}{4}.

Passo 3

Para -2<x<2 temos x^2<4, logo x^2-4<0 e
\lvert x^2-4\rvert =4-x^2=(2-x)(2+x).
Nesse intervalo
f(x)=\frac{x+2}{4-x^2} =\frac{x+2}{(2+x)(2-x)} =\frac{1}{2-x}.
Assim
\lim_{x\to -2^+}f(x) =\lim_{x\to -2^+}\frac{1}{2-x} =\frac{1}{2-(-2)} =\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -2^-}f(x)=-\tfrac{1}{4} \displaystyle \lim_{x\to -2^+}f(x)=\tfrac{1}{4}

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