Considere a função g definida por g(x)=\left\{\begin{array}{r}1, \text { se } x \leq 0 \\\\ -1, \text { se } x>0\end{array}\right.. Investigue a existência dos limites: \lim _{x \rightarrow 0} g(x) e \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} g(x).

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=\begin{cases} 1,&\text{se }x\le0,\\\\ -1,&\text{se }x>0, \end{cases}
e pede os limites \lim_{x\to0}g(x) e \lim_{x\to0}x^{2}g(x). O conteúdo é análise de limite de função em pedaços e uso de limites laterais.

Passo 2

Para \lim_{x\to0}g(x) calculamos os limites laterais: \lim_{x\to0^-}g(x) olha para x<0, onde g(x)=1, logo
\lim_{x\to0^-}g(x)=1. \lim_{x\to0^+}g(x) olha para x>0, onde g(x)=-1, logo
\lim_{x\to0^+}g(x)=-1.
Como as duas raízes laterais não coincidem, \lim_{x\to0}g(x) não existe.

Passo 3

Para \lim_{x\to0}x^{2}g(x) observamos que g(x) é só \pm1, então
para x\le0 temos x^{2}g(x)=x^{2} e para x>0 temos x^{2}g(x)=-x^{2}.
Logo
\lim_{x\to0^-}x^{2}g(x)=\lim_{x\to0^-}x^{2}=0, \qquad \lim_{x\to0^+}x^{2}g(x)=\lim_{x\to0^+}(-x^{2})=0.
Como ambos os laterais valem 0, o limite existe e é 0.

Resposta

\lim_{x\to0}g(x) não existe; \lim_{x\to0}x^{2}g(x)=0.

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