Para cada caso abaixo, determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
f(x)=-x^3+3 x-2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
f(x) = -x^3 + 3x - 2
é crescente ou decrescente.
Conteúdo envolvido: estudo de monotonicidade de funções usando derivada. Vamos precisar calcular f'(x) e analisar o seu sinal.

Passo 2

Como f é um polinômio, sua derivada existe em toda parte. Aplicando a regra do poder, temos
f'(x) = ddxl(-x^3 + 3x - 2r) = -3x^2 + 3

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 ;Longrightarrow; -3x^2 + 3 = 0 ;Longrightarrow; x^2 = 1 ;Longrightarrow; x = -1 ou x = 1

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x)=3(1-x^2) em cada intervalo determinado por -1 e 1:
  1. Em x<-1, por exemplo x=-2:
    f'(-2) = -3cdot(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 < 0
    Logo f é decrescente em (-infty,-1).
  2. Em -1<x<1, por exemplo x=0:
    f'(0) = -3cdot0^2 + 3 = 3 > 0
    Logo f é crescente em (-1,1).
  3. Em x>1, por exemplo x=2:
    f'(2) = -3cdot2^2 + 3 = -12 + 3 = -9 < 0
    Logo f é decrescente em (1,infty).

Passo 5

Concluímos que a função muda de comportamento exatamente nos pontos críticos x=-1 e x=1, sendo decrescente para x<-1, crescente entre -1 e 1, e decrescente para x>1.

Resposta

A função f(x)=-x^3+3x-2 é
decrescente em (-infty,-1) e em (1,infty),
crescente em (-1,1).

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