Seja
, Se
é tal que
e
são contínuas, então
é contínua em cada ponto
.
Passo 1
O enunciado: seja
e
tal que
e
são contínuas. Precisamos mostrar que
é contínua em cada ponto
. Usaremos a definição pontual de continuidade em topologia:
é contínua em
se, dada qualquer vizinhança aberta
de
, existe uma vizinhança aberta
de
com
.
Passo 2
Fixe
e seja
uma vizinhança aberta de
em
. Como
é contínua em
, existe uma vizinhança aberta
de
em
tal que
Pela topologia de subespaço, existe um aberto
tal que
Passo 3
De modo análogo, pela continuidade de
em
, existe um aberto
de
em
com
e um aberto
satisfazendo
Passo 4
Considere
que é aberto em
e contém
. Para qualquer
, ou
e então
ou
e então
. Em ambos os casos vale
. Logo
o que prova que
é contínua em
.