Seja M=A cup B, Se f: M N é tal que f|A e f|B são contínuas, então f é contínua em cada ponto a in A cap B.

Passo 1

O enunciado: seja M = A cup B e fcolon Mto N tal que f|A e f|B são contínuas. Precisamos mostrar que f é contínua em cada ponto ain Acap B. Usaremos a definição pontual de continuidade em topologia: f é contínua em a se, dada qualquer vizinhança aberta Vsubset N de f(a), existe uma vizinhança aberta Usubset M de a com f(U)subset V.

Passo 2

Fixe ain Acap B e seja V uma vizinhança aberta de f(a) em N. Como f|A é contínua em a, existe uma vizinhança aberta WAsubset A de a em A tal que
f(WA)subset V
Pela topologia de subespaço, existe um aberto UAsubset M tal que
WA = UA,cap,A

Passo 3

De modo análogo, pela continuidade de f|B em a, existe um aberto WBsubset B de a em B com
f(WB)subset V
e um aberto UBsubset M satisfazendo
WB = UB,cap,B

Passo 4

Considere
U = UA,cap,UB,
que é aberto em M e contém a. Para qualquer xin U, ou xin A e então xin UAcap A = WA ou xin B e então xin UBcap B = WB. Em ambos os casos vale f(x)in V. Logo
f(U)subset V,
o que prova que f é contínua em a.

Resposta

f é contínua em cada ponto ain Acap B.

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