Num espaço métrico M, sejam F:=Br[a] e G=(Bs(a))^c, onde 0<r<s. Mostre que a função f: M [0,1] definida por
f(x)=d(x, F)d(x, F)+d(x, G)
é contínua e, além disso, f^-1(0)=F e f^-1(1)=G.

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço métrico (M,d) com
F = Br[a]=xin Mmid d(x,a)<= r, G = l(Bs(a)r)^c=xin Mmid d(x,a)>= s,
onde 0<r<s. Definimos
f(x)=d(x,F),d(x,F)+d(x,G),,
onde d(x,S)=infd(x,y)mid yin S. Vamos mostrar que f é contínua e que
f^-1(0)=F, f^-1(1)=G

Passo 2

Note que Fsubset Bs(a) e G=(Bs(a))^c, logo Fcap G=emptyset. Em particular, não existe x com d(x,F)=0 e d(x,G)=0 simultaneamente, de modo que
d(x,F)+d(x,G)>0
para todo xin M. Isso garante que o denominador de f(x) nunca anula.

Passo 3

Como F e G são fechados (a bola fechada Br[a] é fechada e o complemento de uma bola aberta também), vale o fato geral
d(x,S)=0iff xin S
para todo conjunto fechado S. Portanto
d(x,F)=0iff xin F, d(x,G)=0iff xin G

Passo 4

Cada função xmapsto d(x,F) e xmapsto d(x,G) é 1-Lipschitz, pois
l|d(x,S)-d(y,S)r|<= d(x,y),
o que implica continuidade. Como d(x,F)+d(x,G)>0 em todo ponto, f é quociente de funções contínuas com denominador estritamente positivo, logo f é contínua em M.

Passo 5

Mostremos que f^-1(0)=F. Se xin F, então d(x,F)=0 e d(x,G)>0, logo
f(x)=00+d(x,G)=0
Reciprocamente, se f(x)=0 então o numerador d(x,F) é zero, o que implica xin F. Assim f^-1(0)=F.

Passo 6

De modo análogo, para f^-1(1): se xin G então d(x,G)=0 e d(x,F)>0, daí
f(x)=d(x,F)d(x,F)+0=1
E se f(x)=1 então d(x,G)=0, o que força xin G. Concluímos f^-1(1)=G.

Resposta

f é contínua em M, f^-1(0)=F e f^-1(1)=G.

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