Num espaço métrico , sejam e , onde . Mostre que a função definida por
é contínua e, além disso, e .
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço métrico com
onde . Definimos
onde . Vamos mostrar que é contínua e que
Passo 2
Note que e , logo . Em particular, não existe com e simultaneamente, de modo que
para todo . Isso garante que o denominador de nunca anula.
Passo 3
Como e são fechados (a bola fechada é fechada e o complemento de uma bola aberta também), vale o fato geral
para todo conjunto fechado . Portanto
Passo 4
Cada função e é 1-Lipschitz, pois
o que implica continuidade. Como d(x,F)+d(x,G)>0 em todo ponto, f é quociente de funções contínuas com denominador estritamente positivo, logo f é contínua em M.
Passo 5
Mostremos que f^-1(0)=F. Se xin F, então d(x,F)=0 e d(x,G)>0, logo
f(x)=00+d(x,G)=0
Reciprocamente, se f(x)=0 então o numerador d(x,F) é zero, o que implica xin F. Assim f^-1(0)=F.
Passo 6
De modo análogo, para f^-1(1): se xin G então d(x,G)=0 e d(x,F)>0, daí
f(x)=d(x,F)d(x,F)+0=1
E se f(x)=1 então d(x,G)=0, o que força xin G. Concluímos f^-1(1)=G.