Sejam
contínua e
não vazio. Se
é tal que
, então existe uma bola
tal que
implica que
.
Passo 1
O enunciado trabalha com espaços métricos
e
, uma função contínua
e um subconjunto não vazio
. Sabemos que para um ponto
vale
e queremos mostrar que existe
tal que todo
satisfaz
Passo 2
Defina
Por hipótese
. Isso significa que para todo
temos
Em particular, qualquer ponto
que satisfaça
não pode estar em
.
Passo 3
Como
é contínua em
, existe
tal que para todo
Passo 4
Agora, seja
. Para qualquer
, a desigualdade triangular em
dá
Logo
Resposta
Basta tomar
tal que
implies
; então todo
satisfaz
.