Sejam f M N contínua e Y subset N não vazio. Se a in M é tal que d(f(a), Y)>0, então existe uma bola Br(a) tal que x in Br(a) implica que d(f(x), Y)>0.

Passo 1

O enunciado trabalha com espaços métricos (M,dM) e (N,dN), uma função contínua fcolon Mto N e um subconjunto não vazio Ysubset N. Sabemos que para um ponto ain M vale
dNl(f(a),Yr)>0,
e queremos mostrar que existe r>0 tal que todo xin Br(a) satisfaz
dNl(f(x),Yr)>0

Passo 2

Defina
de<a = dNl(f(a),Yr)
Por hipótese de<a>0. Isso significa que para todo yin Y temos
dNl(f(a),yr)>= de<a
Em particular, qualquer ponto zin N que satisfaça dNl(z,f(a)r)<de<a não pode estar em Y.

Passo 3

Como f é contínua em a, existe r>0 tal que para todo xin M
dM(x,a)<rLongrightarrow dNl(f(x),f(a)r)<de<a2

Passo 4

Agora, seja xin Br(a). Para qualquer yin Y, a desigualdade triangular em N
dNl(f(x),yr);>=;dNl(f(a),yr);-;dNl(f(x),f(a)r) ;>=;de<a-de<a2 ;=;de<a2
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dNl(f(x),Yr) =infyin YdNl(f(x),yr) ;>=;de<a2 ;>;0

Resposta

Basta tomar r>0 tal que dM(x,a)<r implies dN(f(x),f(a))<de<a/2; então todo xin Br(a) satisfaz dN(f(x),Y)>=de<a/2>0.

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