Para cada caso abaixo, determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
f(x)=x+3 x^-2;

Passo 1

O enunciado pede para identificar onde a função
f(x)=x+3x^-2
é crescente ou decrescente.
Vamos usar o teste da derivada: calcular f'(x), encontrar os pontos em que f'(x)=0 (e também considerar onde f'(x) não existe), e estudar o sinal de f'(x) nos intervalos formados pela divisão do domínio nesses pontos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Para isso usamos que ddx(x)=1 e ddx(3x^-2)=3cdot(-2)x^-3=-6x^-3. Logo,
f'(x)=1-6x^-3

Passo 3

O domínio de f é Rsetminus0 (pois x^-2 exige xneq0).
Procuramos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0 Longrightarrow 1-6x^3=0 Longrightarrow x^3=6 Longrightarrow x=raiz[3]6

Passo 4

Agora fazemos a análise de sinal de f'(x)=1-6/x^3 nos intervalos (-infty,0), (0,raiz[3]6) e (raiz[3]6,infty):
  1. Em x<0, temos x^3<0 e, portanto, 6/x^3<0. Assim
    f'(x)=1-l(6/x^3r)>1-0=1>0,
    ou seja, f'(x)>0 em (-infty,0), logo f é crescente aí.
  2. Em 0<x<raiz[3]6, temos 0<x^3<6 e, portanto, 6/x^3>1. Assim
    f'(x)=1-l(6/x^3r)<1-1=0,
    ou seja, f'(x)<0 em (0,raiz[3]6), logo f é decrescente aí.
  3. Em x>raiz[3]6, temos x^3>6 e, portanto, 6/x^3<1. Assim
    f'(x)=1-l(6/x^3r)>1-1=0,
    ou seja, f'(x)>0 em (raiz[3]6,infty), logo f volta a ser crescente aí.

Resposta

A função f(x)=x+3x^-2 é crescente em
(-infty,0)cupl(raiz[3]6,inftyr),
e decrescente em
l(0,raiz[3]6r)

Exercícios relacionados