Seja varphi: M N um homeomorfismo local. Dado o espaço métrico X, sejam f, g: X M contínuas tais que varphi circ f=varphi circ g. Mostre que se X for conexo, então f=g ou então f(x) neq g(x) para todo x in X.

Passo 1

O enunciado diz que varphicolon Mto N é um homeomorfismo local, isto é, para cada pin M existe um aberto Usubset M contendo p tal que varphi|Ucolon Utovarphi(U) é homeomorfismo. Temos também um espaço métrico X conexo e duas aplicações contínuas f,gcolon Xto M tais que
varphil(f(x)r)=varphil(g(x)r) forall,xin X
Queremos mostrar que, em um espaço conexo, duas levantamentos de um mesmo mapa por uma aplicação localmente homeomorfa ou coincidem em tudo, ou então nunca se tocam:
ou f=g ou f(x)neq g(x) para todo x.

Passo 2

Definimos o subconjunto
A = ,xin X : f(x)=g(x)
Como f e g são contínuas, a diferença h(x)=f(x)-g(x) (no sentido de “igualdade de pontos”) tem como pré-imagem de 0 precisamente A. Logo A é fechado em X.

Passo 3

Mostramos que A é aberto. Seja x0in A. Então
f(x0)=g(x0)=:pin M
Pela propriedade de homeomorfismo local, existe um aberto Usubset M contendo p tal que
varphi|Ucolon Ulongrightarrow varphi(U)
é homeomorfismo. Como varphi(f(x0))=varphi(g(x0)), ambos f(x0) e g(x0) caem em U. Pela continuidade de f e g, existe uma vizinhança Vsubset X de x0 tal que
f(V)subset U e g(V)subset U
Em U, varphi é injetora, então se para xin V temos
varphil(f(x)r) = varphil(g(x)r),
pela inversibilidade em U segue
f(x)=g(x)
Isto mostra que Vsubset A, logo A é aberto.

Passo 4

Agora A é simultaneamente aberto e fechado em X, e X é conectado. Logo só há duas possibilidades:
  • A=varnothing, ou seja, não existe ponto onde f e g coincidam;
  • A=X, ou seja, f(x)=g(x) para todo xin X.

Resposta

Em um espaço conexo X, ou
f=g
ou
f(x)neq g(x) para todo xin X.

Exercícios relacionados