Seja
um homeomorfismo local. Dado o espaço métrico
, sejam
contínuas tais que
. Mostre que se
for conexo, então
ou então
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um homeomorfismo local, isto é, para cada
existe um aberto
contendo
tal que
é homeomorfismo. Temos também um espaço métrico
conexo e duas aplicações contínuas
tais que
Queremos mostrar que, em um espaço conexo, duas levantamentos de um mesmo mapa por uma aplicação localmente homeomorfa ou coincidem em tudo, ou então nunca se tocam:
ou ou
para todo
.
ou
Passo 2
Definimos o subconjunto
Como
e
são contínuas, a diferença
(no sentido de “igualdade de pontos”) tem como pré-imagem de
precisamente
. Logo
é fechado em
.
Passo 3
Mostramos que
é aberto. Seja
. Então
Pela propriedade de homeomorfismo local, existe um aberto
contendo
tal que
é homeomorfismo. Como
, ambos
e
caem em
. Pela continuidade de
e
, existe uma vizinhança
de
tal que
Em
,
é injetora, então se para
temos
pela inversibilidade em
segue
Isto mostra que
, logo
é aberto.
Passo 4
Agora
é simultaneamente aberto e fechado em
, e
é conectado. Logo só há duas possibilidades:
-
, ou seja, não existe ponto onde e coincidam; -
, ou seja, para todo .
Resposta
Em um espaço conexo
, ou
ou
para todo
.