Para cada caso abaixo, determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
f(x)=x^2-x+12 x-2.

Passo 1

Resumindo, queremos achar onde a função
f(x)=x^2-x+12x-2
é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é estudo de monotonia usando a derivada: basta calcular f'(x), achar os pontos em que ela anula ou não existe e analisar o sinal.

Passo 2

Usamos a regra do quociente com u(x)=x^2-x+1 e v(x)=2x-2. Então
u'(x)=2x-1, v'(x)=2
e
f'(x) =u'v - u,v'v^2 =(2x-1)(2x-2)-2(x^2-x+1)(2x-2)^2
Calculando o numerador:
(2x-1)(2x-2)=4x^2-6x+2, 2(x^2-x+1)=2x^2-2x+2,
4x^2-6x+2-l(2x^2-2x+2r) =2x^2-4x =2x(x-2)
Logo
f'(x)=2x(x-2)(2x-2)^2

Passo 3

Note que (2x-2)^2=4(x-1)^2>0 para todo xneq1. Assim podemos escrever
f'(x)=x(x-2)2,(x-1)^2
As raízes de f'(x)=0 são x=0 e x=2. A derivada não existe em x=1 (polo de f). Portanto o estudo de sinal faz-se em
(-infty,0),;(0,1),;(1,2),;(2,infty)

Passo 4

Em cada intervalo o sinal de f'(x) é o sinal de x(x-2):
  • Para xin(-infty,0): x<0 e x-2<0 Rightarrow x(x-2)>0 Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
  • Para xin(0,1): x>0 e x-2<0 Rightarrow x(x-2)<0 Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
  • Para xin(1,2): idem ao caso (0,1) Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
  • Para xin(2,infty): x>2 e x-2>0 Rightarrow x(x-2)>0 Rightarrow f'(x)>0 (crescente).

Resposta

Crescente em (-infty,0) e (2,infty).
Decrescente em (0,1) e (1,2).

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