Exercício 1.13.7. Calcule os limites:
lim y -infty 5 y^3-12 y+78 y^2-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limyto -infty 5y^3-12y+78y^2-1.
É um limite de função racional em que o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2), então esperamos que a expressão cresça sem limite, mas precisamos determinar o sinal e o fator dominante.

Passo 2

Para ver isso com clareza, dividimos numerador e denominador pela maior potência de y que aparece no denominador, isto é, y^2.

Passo 3

Dividindo tudo por y^2, obtemos:
5y^3-12y+78y^2-1 = y^2l(5y - 12y + 7y^2r)y^2l(8 - 1y^2r) = 5y - tfrac12y + tfrac7y^28 - tfrac1y^2

Passo 4

Quando yto -infty, temos tfrac1yto 0 e tfrac1y^2to 0. Logo
5y - tfrac12y + tfrac7y^28 - tfrac1y^2 ;longrightarrow; 5y8
Como yto -infty, o produto tfrac5y8to -infty.

Resposta

-infty

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