Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor inteiro positivo
tal que
para todo
, e depois provar por indução (estendida) que essa desigualdade vale para qualquer inteiro maior ou igual a
.
Passo 2
Testamos valores de
a partir de 1 até encontrarmos o primeiro que satisfaça a desigualdade:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Logo, o primeiro inteiro
para o qual a sentença é verdadeira é
.
Passo 3
(Base da indução) Verificamos que para
realmente vale
Passo 4
(Passo de indução) Suponha agora que para algum
tenhamos
Queremos mostrar que então
Começamos multiplicando a hipótese de indução por 2:
Como
implica
, segue que
Assim concluímos
Passo 5
Pelo Princípio da Indução (estendida), a desigualdade
vale para todo inteiro
.
Resposta
O menor inteiro
é
, e para todo
temos
.