Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(e) 2^n <= n !

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor inteiro positivo n0 tal que
2^n <= n!
para todo n>= n0, e depois provar por indução (estendida) que essa desigualdade vale para qualquer inteiro maior ou igual a n0.

Passo 2

Testamos valores de n a partir de 1 até encontrarmos o primeiro que satisfaça a desigualdade:
Para n=1:
2^1 = 2 not<= 1! = 1
Para n=2:
2^2 = 4 not<= 2! = 2
Para n=3:
2^3 = 8 not<= 3! = 6
Para n=4:
2^4 = 16 <= 4! = 24
Logo, o primeiro inteiro n0 para o qual a sentença é verdadeira é n0=4.

Passo 3

(Base da indução) Verificamos que para n=4 realmente vale
2^4 = 16 <= 24 = 4!

Passo 4

(Passo de indução) Suponha agora que para algum k>=4 tenhamos
2^k <= k!
Queremos mostrar que então
2^k+1 <= (k+1)!
Começamos multiplicando a hipótese de indução por 2:
2^k+1 = 2cdot2^k <= 2cdot k!
Como k>=4 implica k+1>=5>2, segue que
2cdot k! <= (k+1),k! = (k+1)!
Assim concluímos
2^k+1 <= (k+1)!

Passo 5

Pelo Princípio da Indução (estendida), a desigualdade
2^n <= n!
vale para todo inteiro n>= n0=4.

Resposta

O menor inteiro n0 é 4, e para todo n>=4 temos 2^n <= n!.

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